Teoremas

TRANSFORMACION LINEAL
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W ( T:VW) es una función que asigna a cada vector vV un vector único T(v)W y que satisface :
A.1) v1 ,v2V [T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)]
A.2)R vV[T(v)= T(v)]

teorema
Sea T:VW una transformación lineal , entonces se cumple que :
* T(0V)=0W
* v1,v2V[T(v1-v2)=T(v1)-T(v2)]
* v1,v2 ,…, vnV , 1,2,…,n [T(1v1 +2v2 +…+nvn)=1T(v1)+2 T(v2) +…+n T(vn)]

teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, …, vn}. Sean w1, w2, …, wn vectores del espacio vectorial . Entonces existe una transformación lineal única T:VW tal que T(vi)=wi para i=1,2,…,n.

NUCLEO ( KERNEL ) DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sea T:VW una transformación lineal, se define como Núcleo de T, a :Nu(T)={vV / T(v)=0W }= Ker(T)

teorema
Sea T:VW una transformación lineal, entonces se cumple que el Núcleo de T es un subespacio vectorial de V.

NULIDAD DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea T:VW una transformación lineal, se define como Nulidad de T, a:
Nulidad de T= (T) = dim Nu(T)

RECORRIDO ( IMAGEN ) DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sea T:VW una transformación lineal, se define comoRecorrido de T, a:
Rec(T)={wW/T(v)=w para algún vV}=Im(T)

teorema
Sea T:VW una transformación lineal, entonces se cumple que el Recorrido de T es un subespacio vectorial de W.

RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea T:VW una transformación lineal, se define como Rango de T, a : (T) = dim Rec(T)

TEOREMA DE LAS DIMENSIONES
Sea T:VW una transformación lineal y V un espacio vectorial dedimensión finita, entonces se cumple que: (T) + (T) = dim V

TRANSFORMACION LINEAL INYECTIVA (UNO A UNO)
Sea T:VW una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y sólo si :
v1 ,v2V [T(v1)=T(v2) v1=v2]

teorema
Sea T:VW una transformación lineal . T es inyectiva sí y sólo si Nu(T)={0V} ((T)=0)

TRANSFORMACION LINEAL SOBREYECTIVA
Sea T:VW una transformación lineal, entonces T essobreyectiva, si y sólo si :
wW vV [T(v)=w]

teorema
Sea T:VW una transformación lineal. T es sobreyectiva sí y sólo si (T)=dim W

ISOMORFISMO
Sea T:VW una transformación lineal, entonces T es un Isomorfismo si y sólo si T es inyectiva y T es sobreyectiva.
ESPACIOS VECTORIALES ISOMORFOS
Se dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W.teorema
V y W son espacios vectoriales isomorfos (VW) si y solo si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dimV=dimW.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sean V y W dos espacios vectoriales con bases 1={v1, v2, …, vn } y 2={w1, w2, …,wm} respectivamente y sea T: VW una transformación lineal, entonces la matriz AT de mxn se define como la matriz asociada de T , tal que: AT = [T(v1)]2 [T(v2)]2 [T(v3)]2 … [T(vn)]2

teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n , W un espacio vectorial de dimensión m y T:VW una transformación lineal. Si 1={ v1, v2 , … , vn }es una base de V y 2={ w1 , w2 , … , wm }es una base de W . Entonces existe una sola matriz AMmxn tal que :
vV { [T(v)]2=AT [v]1}

OPERADOR LINEAL SOBRE UN ESPACIO VECTORIAL
T es unoperador lineal sobre V, si y solo si T: VV es una transformación lineal.

teorema
Sea T:VW una transformación lineal. Si {v1, v2, … ,vn} es linealmente independiente en V y T es inyectiva, entonces {T(v1), T(v2) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W.

teorema
Sea T:VW una transformación lineal. Si {T(v1), T(v2) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W, entonces {v1, v2, …,vn} es linealmente independiente en V.

teorema
Sea T:VW una transformación lineal, AT la matriz que representa a T , V y W espacios de dimensión finita y dimV=n entonces se cumple que :
* (T)=(AT)
* (T)=(AT)
* (T)+(T)=n

teorema
Sea T:VW una transformación lineal .Si dimV=dimW=n y T es inyectiva entonces T es sobreyectiva .

teorema
Sea T:VW una transformación lineal .Si...