Teoria Bloque I Calculo Diferencial

Matemáticas
Curso Primero

Universidad de
Oviedo

(Grupos: )

Teoría (bloque I)

“Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables”

Tema 1. Funciones de varias variables.
Tema 2. Derivabilidad y diferenciabilidad en funciones de varias
variables
Tema 3. Funciones homogéneas.

1

Matemáticas
Curso Primero

Universidad de
Oviedo

(Grupos: )

Tema 1
Funciones de varias variables
1.1 El espaciométrico IRn.
1.2. Funciones de varias variables como instrumentos de modelización
económica.
1.3. Representación gráfica. Curvas de nivel.
1.4. Límites y continuidad de funciones de varias variables.

Material de consulta recomendado:
SYDSAETER, K.; HAMMOND, P. (1996): Matemáticas para el Análisis Económico. Ed Prentice
2 Hall. Madrid.

1.1 El espacio métricoIR

1.1.

El espacio métrico IRn.

Enmatemática, un espacio métrico es un conjunto junto con una función de distancia definida sobre él (de modo que
cualquier par de puntos del conjunto están a una cierta distancia asignada por dicha función).
En matemática, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que
los une, expresado numéricamente

R, R2,R3, ……Rn

: son espacios métricos1. ¿Qué es IR n ?
si n  2
si n  3

IR 2   ( x1 , x2 ) / x1, x2  IR

IR 3   ( x1 , x2 , x3 ) / x1, x2 , x3  IR

M
si n  n

IR n   ( x1 , x2 ,L , xn ) / x1, x2 ,L , xn  IR

IR n es un conjunto formado por elementos llamados vectores
Un vector es un grupo ordenado de n números reales. Podemos escribir un vector:

x  ( x1 , x2 ,L , xn )

 x1
 
x
x   2
 M
 
 xn

3

n

1.1El espacio métricoIR

2. Distancia
euclídea

La idea de proximidad es fundamental en el Análisis –es imprescindible, por
ejemplo, para definir los conceptos de bola, límite, continuidad y derivabilidad de
funciones-. Para formalizar esta idea necesitamos el concepto de distancia.
Una función de distancia o métrica es una generalización del concepto de
distancia física. Debe cumplir ciertaspropiedades (no negatividad, simetría,
etc.), y permite cuantificar de un modo preciso cómo de cerca o lejos está un
objeto –o elemento- de otro.
Una de las más empleadas es la distancia euclídea.
B

Distancia euclídea entre: (1,2) y (7,7)

d  A, B   62  52  61  7,81.
A

Distancia euclídea entre: (1,3) y (5,1)
 
4

n

1.1 El espacio métricoIR

Definición:
La distancia euclídea entre dos vectoresse calcula como la raíz
cuadrada positiva de la diferencia entre sus componentes al cuadrado
n
n
d : Rh
Rh
 R ,

d  x, y   
Distancia euclídea en

d  x, y   

2

2

2

R.
x

 x  y  x  y
2

Distancia euclídea en

d  x, y   

 x1  y1    x2  y2   ...   xn  yn  .

2

R.

x2  y 2

 x1  y1    x2  y2  .
2

x2
y2

y

yx

x

y

2

y1

5x1

x1

 y1

n

1.1 Elespacio métricoIR

3. Bola: abierta, cerrada, abierta reducida
Se
  denomina bola al conjunto de puntos que distan de otro
igual o menor distancia que un radio dado r.

 0 (centro de la bola) a

n
**Bola abierta en Rn: sea x0  Rse
denomina bola abierta de centro

r 0

y radio
 0

Br  x0    x  Rn / d  x , x0   r .

** En R , una bola abierta es un intervalo abierto, excluidos sus extremos.Br  x0    x  R / x0  r  x  x0  r   x0  r , x0  r    x0  r , x0  r  .
x0  r

x0

x0  r

x0  r

x0

x0  r

6

B2 (5) = (5-2, 5+ 2) = (3,7)
2

**En R es un círculo, excluida la circunferencia que lo delimita.





B4  3, 2   x  R2 / d  x ,  3, 2    4
3



 x1 , x2   R2 /  x1  3

2



  x2  2   16 .
2

4

2
3
-2

**En R , una bola abierta es una esfera,excluida la superficie esférica 6que la delimita.

7

n

1.1 El espacio métricoIR

Bola abierta reducida (sería la bola abierta excluido el centro de la misma)
n
Llamamos bola abierta reducida de centro x0  R y radio r  0 al conjunto

B*r  x0    x  Rn / 0  d  x , x0   r  Br  x0    x0  .

En R , una bola abierta reducida es la unión de dos intervalos abiertos.

x0  r

x0

x0 ...