Teoria Combinatoria
Páginas: 10 (2298 palabras)
Publicado: 24 de julio de 2012
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 3
TEORIA COMBINATORIA. 4
CONCEPTOS DE COMBINATORIA 4
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 4
DEFINIR EL NÚMERO COMBINATORIO 5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 5
VARIACIÓN 7
COMBINATORIA 10
PERMUTACIÓN 12
FACTORIAL DE UN NÚMERO POSITIVO 14
TRIANGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON 17
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS 22
NUMERO FACTORIAL 23
CONCLUSIÓN 24BIBLIOGRAFÍA 25
INTRODUCCIÓN
La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden serobtenidas bajo algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos: arreglos, permutaciones y combinaciones.
Para calcular probabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos delos elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de Conteo y los aportes realizados por la Teoría Combinatoria.
TEORIA COMBINATORIA.
CONCEPTOS DE COMBINATORIA
En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto deelementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad derepetición o no de los elementos.
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!
n!=n·(n-1)·(n-2)·(n-3),,,.3·2·1
0!=1
Ejemplo
Calcular factorial de 5.
5!=5·4·3·2·1=120
DEFINIR EL NÚMERO COMBINATORIO
El número Cnm se llama también número
5/6 combinatorio. Se representa por mn y se lee "msobre n".
mn=m!n!m-n!
Ejemplo
74=7!4!·3=7·6·5·4!4!·3·2=35
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
1. m0=mm=1
2. mn=mm-n
Los números de este tipo se llaman complementarios.
3. mn-1+mn=m+1n
114+115=125
Ejemplo
Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
7572=7575-72=75375·74·733·2·1=67525
VARIACIÓN
Se llama variaciones ordinarias de m elementostomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Vmn=mm-1m-2m-3···(m-n+1)
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Vmn=m!m-n!
Las variaciones se denotan por Vmn o Vm,n
Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.V63=6·5∙4=120
V63= 6!6-3!=6∙5∙4∙3!3!=6·5·4=120
2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
V53=5·4·3=60
3. ¿Cuántosnúmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6n = 3 m ≥ n
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo...
INTRODUCCIÓN 3
TEORIA COMBINATORIA. 4
CONCEPTOS DE COMBINATORIA 4
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 4
DEFINIR EL NÚMERO COMBINATORIO 5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 5
VARIACIÓN 7
COMBINATORIA 10
PERMUTACIÓN 12
FACTORIAL DE UN NÚMERO POSITIVO 14
TRIANGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON 17
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS 22
NUMERO FACTORIAL 23
CONCLUSIÓN 24BIBLIOGRAFÍA 25
INTRODUCCIÓN
La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden serobtenidas bajo algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos: arreglos, permutaciones y combinaciones.
Para calcular probabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos delos elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de Conteo y los aportes realizados por la Teoría Combinatoria.
TEORIA COMBINATORIA.
CONCEPTOS DE COMBINATORIA
En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto deelementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad derepetición o no de los elementos.
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!
n!=n·(n-1)·(n-2)·(n-3),,,.3·2·1
0!=1
Ejemplo
Calcular factorial de 5.
5!=5·4·3·2·1=120
DEFINIR EL NÚMERO COMBINATORIO
El número Cnm se llama también número
5/6 combinatorio. Se representa por mn y se lee "msobre n".
mn=m!n!m-n!
Ejemplo
74=7!4!·3=7·6·5·4!4!·3·2=35
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
1. m0=mm=1
2. mn=mm-n
Los números de este tipo se llaman complementarios.
3. mn-1+mn=m+1n
114+115=125
Ejemplo
Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
7572=7575-72=75375·74·733·2·1=67525
VARIACIÓN
Se llama variaciones ordinarias de m elementostomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Vmn=mm-1m-2m-3···(m-n+1)
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Vmn=m!m-n!
Las variaciones se denotan por Vmn o Vm,n
Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.V63=6·5∙4=120
V63= 6!6-3!=6∙5∙4∙3!3!=6·5·4=120
2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
V53=5·4·3=60
3. ¿Cuántosnúmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6n = 3 m ≥ n
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo...
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