Teoria de conjuntos, y logica matematica

1. Elementos de Lógica Simbólica

Lógica: Es la ciencia que trata de discernir entre los razonamientos, cuales son correctos y cuáles no. Además, nos permitirá comprender la relación entre el lenguaje hablado y el lenguaje de la matemática.

1.1 Lógica Simbólica: Estudia el uso de símbolos que le dan a la lógica un lenguaje Similar al matemático. Estos símbolos nos permitirán usar y exponercon mayor claridad las estructuras lógicas de proposiciones y razonamientos.

1.2 Proposición: Enunciado de un juicio de valor bien definido, el cual puede ser verdadero o falso pero no ambos a la vez. Es todo lo que una persona dice o escribe, que tenga sentido y cuyo valor sea verdadero o falso.
Ejemplo:
Los perros tienen cuatro patas (v), 5 + 3 = 8 (v), Dos más tres es igual a siete (f).1.2.1 Proposición simple o atómica: Es aquella que está formada por una sola proposición, es decir que no tiene conectivos proposicionales (emite un solo juicio).
Ejemplo: Las vocales son cinco, 7  3 = 4, Tikal queda en Cobán,

1.2.2 Proposición Compuesta: Es la combinación de enunciados simples; o es aquella que está formada por dos o más proposiciones unidas entre sí por conectivosproposicionales.
Ejemplo: Antigua es una ciudad colonial y el río dulce es navegable, Si tomo agua sin hervir, entonces tendré parásitos, Juan tiene gripe o Juan tiene amigdalitis.

1.3 Conectivos: Las proposiciones compuestas requieren del uso de conectivos, o sea que para relacionar las proposiciones simples se hace necesaria la aplicación de conectivos. Estos son:
Conjunción: y =Disyunción inclusiva o =
Disyunción exclusiva o = Implicación: si… entonces =
Equivalencia: si y solo si = Negación: no =

Conjunción: La conjunción de dos proposiciones será verdadera sólo en el caso que ambas proposiciones sean verdaderas. En los demás casos será falsa.

Disyunción: Esta formada por dos proposiciones simples,relacionadas entre sí por el conectivo lógico o. La disyunción puede ser inclusiva o exclusiva y se diferencian por un subrayado en el signo de la disyunción exclusiva.

Disyunción inclusiva: Esta es verdadera cuando por lo menos una proposición es verdadera (basta con que una sea verdadera). Será falsa cuando las dos proposiciones sean falsas.

Disyunción exclusiva: Esta es verdadera cuandosólo una de las proposiciones es verdadera y falsa cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas.

Negación: La negación de una proposición verdadera la convierte en una proposición falsa; y la negación de una proposición falsa la convierte en verdadera.

Implicación: En la implicación a la primera proposición se le llama antecedente y a la segunda proposición se le llamaconsecuente. La implicación falsa sólo en el caso que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos será verdadero.

Con la implicación P Q, existen otras proposiciones relacionadas que son:
La reciproca: Q P
La inversa: P Q
La contra reciproca: Q P

Equivalencia o doble implicación: La equivalencia o doble implicación será verdadera cuandolas dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas; si hay una verdadera y una falsa o viceversa, la equivalencia es falsa.

1.4 Valores de verdad: Conviene señalar que la proposición simple sólo puede tener dos valores de verdad, que sea verdadera o que sea falsa.Número de valores de verdad de una proposición: Es igual a 2 n, siendo 2 una constante y “n” el número deproposiciones simples.

1.5 Tabla de verdad de una proposición compuesta: Es una tabla que proporciona los valores de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de cada proposición simple, relacionándolos por medio de los conectivos lógicos.

1.6 Tautología: Se obtiene cuando el resultado de una tabla de verdad de una proposición compuesta sea todo verdadero.

1.7...