Teoria de conjuntos

Teoría de conjuntos |

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés enmatemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio deventa al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

CONJUNTOS:
La palabra conjunto es una colección de objetos cuyas propiedades o características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.
Es una colección de objetos considerados como unasimple unidad. Los objetos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves. Así por ejemplo:
El conjunto “A” formando por las vocales, la podemos escribir:
A: {a, e, i, o, u}
Un conjunto “B”cuyos elementos son los tres números impares lo denotamos
B = {1, 3,5}.

Ejemplos de conjuntos:
 
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q: el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.

CARACTERÍSTICAS:
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
* Lacolección de elementos debe estar bien definida.
* Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos
* Deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
* El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementoscon letras minúsculas a, b, c,..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos
* FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.El conjunto de días de la semana
* INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
El conjunto de los números reales
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN:
Cuando se describe a cada uno de los elementos. Se enumeran todoslos elementos que lo forman. Si el conjunto tiene infinitos elementos, se nombraran algunos de ellos y se escriben tres puntos suspensivos.
Ejemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {0,2,4,6,8}
C = {c,o,n,j,t,s}

COMPRENSIÓN:
Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}
B = {X/X Es un numero par menor que 10}
C = {X/X Es una letra de la palabra conjuntos}REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO
 
Diagrama de Venn y entre llaves.
Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.
En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.
|
 
El conjunto A...