teoria de conjuntos

Lic. Mat. Juan Flores Cubas

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TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Breve Historia
El concepto de conjunto tiene enorme importancia para la matemática moderna, porque la
mayor parte de los conceptos matemáticos están expresados en términos de conjunto.
El primero que con clara conciencia hizo el concepto conjunto, objeto de investigación
matemática fue Bernardo Bolzano (1781 - 1848),sacerdote y filósofo checo. En 1848 escribió el
tratado que lo tituló “Las paradojas del infinito”. En este tratado, Bolzano desarrolló algunos
conceptos y principios que posteriormente se convirtieron en el fundamento de la “Teoría de
Conjuntos” el cual fue creado especialmente para explicar con exactitud los conceptos de
infinitos y continuidad para el cálculo infinitesimal.
El matemático alemánCarlos Weierstrass (1815 - 1897) fue el primero que fundamentó estos
términos, basados en un conjunto de puntos sobre la recta.
Sin embargo, el verdadero creador de la Teoría de Conjuntos, fue Jorge Cantor (1834 - 1918),
filósofo y matemático alemán que necesitó 10 años para terminar su Teoría de Conjuntos, la
cual en un comienzo fue rechazada por todos los matemáticos de su tiempo, empero conel
correr de los años aparecieron matemáticos, que reconocieron la importancia de la Teoría de
Conjuntos que ahora es el cimiento de toda la matemática.
2. Noción de Conjunto
Es necesario saber que el concepto de conjunto lo tenemos todos, pues es una idea simple y
elemental, y eso hace que podamos tener muchas definiciones al respecto. Intuitivamente
podemos decir que un conjunto es unaagrupación, colección, lista de objetos bien definida, los
objetos deben estar descritos suficientemente claro como para que no haya ninguna duda que
si cierto objeto pertenece o no al conjunto, es decir, cada objeto se puede distinguir de los
demás.
Ejemplos:
El conjunto de los Presidentes de América Latina.
El conjunto de estudiantes del primer ciclo de la Universidad César Vallejo.
Cada unode los objetos de un conjunto se llama elemento o un miembro del conjunto.
El conjunto usualmente se representa con las letras mayúsculas del alfabeto:
A, B, C, D,…, etc. Que se lee “Conjunto A”, “Conjunto B”, “Conjunto C”,…, etc,
3. Determinación de un Conjunto
3.1. Por extensión:
Consiste en enunciar, listar o enumerar separadamente cada uno de los elementos que
forman el conjunto, loscuales siempre van entre llaves.
Ejemplo:
A={ Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}
B={-2; -1; 0; 1; 2}
C={I, N, G, E, N, R, A}
3.2. Por comprensión:
Consiste en enunciar una propiedad común que poseen todos los elementos del conjunto y
que sólo ellos poseen, se escribe entre llaves.
A tal efecto utilizaremos una variable para denominar a cualquiera de ellos que queramos
referirnos yescribiremos:
“x/x es…..”, el cual se lee: “x tal que x es...”, en los puntos suspensivos enunciamos la
propiedad común entre sus elementos.

Lic. Mat. Juan Flores Cubas

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Ejemplo:
A= {x/x es un día de la semana}
B={x/ -2≤x≤2, xϵZ}
C={x/x es una letra de la palabra INGENIERÍA}
Observación
Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, decimos entonces que pertenece aese conjunto. Esta relación se da sólo de elemento a conjunto.
Notación: ϵ y se lee: “pertenece a”
Aunque puede no pertenecer y se denota así:  y se lee: “no pertenece a”
Ejemplo:
Sea P={ a ; b ; {c}}
Se puede afirmar que:
a ϵP
b ϵP
{c} ϵP
d P 5 P 9 P

4. Relaciones entre conjuntos
4.1. Conjuntos iguales:
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, esdecir cada
elemento del conjunto A está o pertenece al conjunto B, y si cada elemento que pertenece
al conjunto B, pertenece también al conjunto A.
Se representa por: A=B
Ejemplos
a) Sea A={x/ 0≤x≤4, xϵN } y B={0; 1; 2; 3; 4}
Determinamos el conjunto A por extensión:
A={0;1;2;3;4}, observamos que tienen los mismos elementos
Luego: A=B.
b) Sea M={0; 3; 5; 7} y N={3; 5; 0; 5; 3; 3; 7; 7}...