teoria de conjuntos

Curso Intensivo de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares (7−07−09)

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TEORÍA DE CONJUNTOS: IDEAS BÁSICAS
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se
llama elemento del conjunto.
Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos
que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a
fórmulas de recurrenciao a expresiones generalistas. Los conjuntos
suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C…. Los elementos
del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}.
El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅.
Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para
aceptar algunas propiedades.
Relación de pertenencia
Un elemento pertenecea un conjunto cuando es de él. Si el elemento a
pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece
al conjunto A se escribe p ∉ A.
Ejemplos:
a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las
caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
El elemento 7∉ E.
b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}.
El número 10 ∈ N, pero3,2 ∉ N.
c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que
una persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en
un edificio”.
d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números
enteros, racionales y reales, respectivamente.
e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números
reales menos los números −2 y 3.Subconjuntos
Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier
número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el
conjunto ∅ y el mismo A.
Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también
se lee “B está contenido en A”.
Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A.
El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A
⊃ B. (La parteabierta señala al conjunto mayor.)
No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A.
En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a
entre llaves se considera el conjunto unitario {a}.
Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.

José María Martínez Mediano

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Unconjunto tiene muchos subconjuntos. Hay subconjuntos con un solo
elemento, que podrían llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos
con dos elementos; etc. (Puede demostrase que si un conjunto A tiene n
elementos, el número de subconjuntos de A es 2n, incluyendo el vacío y
el mismo A.)
La relación de contenido cumple las propiedades siguientes.
1. Si C ⊂ B y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A.
2. Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒A = B.
3. Para todo conjunto A, ∅ ⊂ A.
Ejemplos:
a) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, algunos subconjuntos de E son:
{1}; {6}; {1, 2}; {2, 5}; {2, 4, 6}; {3, 4, 5, 6}; {1, 3, 4, 5, 6}
En total, E tiene 26 = 64 subconjuntos.
b) En el conjunto de los números reales, los intervalos son subconjuntos
de R.
Subconjunto complementario de otro
Si B es un subconjunto de A, se llama complementario de B(respecto de
A), al subconjunto de A formado por los elementos que no son de B.
El complementario de un conjunto B se representa mediante alguno de
los símbolos Bc, B´ o B . Aquí escribiremos Bc.

El complementario siempre hace referencia a un todo. Luego, el
complementario de B es lo que le falta a B para ser todo.
Ejemplos:
a) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 5} ⇒ Bc = {1, 3, 4, 6}.El complementario de C = {1, 3, 4, 5, 6} es Cc = {2}.

b) En el conjunto de los números reales, el complementario de los
números positivos es el conjunto formado por todos los números
negativos, más el cero.
También en R, el complementario del intervalo (1, 3) puede escribirse
así: R − (1, 3). Esto no debe confundirse con R − {1, 3}, que sería el
complementario de dos números; mientras que...