Teoria de conjuntos

Teoría de Conjuntos
 NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A. 
 
Ejemplos de conjuntos: 
 
Æ : el conjunto vacío, que carece deelementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
  
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
  
Unconjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, 
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pΠZ | p es par}
  
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), 
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A; 
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y sedenota Ã (A). 
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos: 
 
Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} Îà(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, 
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, sellama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}. 
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).
Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U, 
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
Æ ' = U .
U ' = Æ .(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.
  
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, 
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, 
esdecir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'. 
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
A È A = A
A Ç A = A
2.- Conmutativa
A È B = B È A
A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa
A È (B È C ) = ( A È B ) È C
A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción
A È ( A Ç B ) = A
A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad
A È A' = U
A Ç A' = Æ

 
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. 
Además de éstas, severifican también las siguientes propiedades:
A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).
  
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: 
 
A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B...