teoria de control

Ejercicios de la Materia de Teoría de Control I.
1.- Problemas de Modelado y Análisis de Respuesta Transitoria
0.0

Representación en el espacio estado.
Problema 1.- Considere el siguiente circuito

Circuito RLC
Obtenga una representación de espacio de estado considerando el voltaje a través del capacitor como salida
y la fuente de voltaje v(t) como entrada.
Solucion: Por Ley deKirchoff de Voltaje alrededor del circuito se tiene que
v(t) = vR + vL + vC ;
donde el voltaje a través de la resistencia y através del inductor está dado por
vR = i(t)R(t)
(1)
di
vL = L(t)
(2)
dt
dvC
i(t) = C(t)
:
(3)
dt
donde i(t) es la corriente a través del circuito, la cual es la misma a través del circuito. Por lo que
di
v(t) = i(t)R(t) + L(t) + vC :
(4)
dt
De la expresión parai(t) dada en (3) se tiene que la derivada con respecto al tiempo de i(t)
di(t)
dC(t) dvC
d2 vC
=
+ C(t)
dt
dt dt
dt
dvC
dvC
d2 vC
v(t) = R(t)C(t)
+ L(t) C 0 (t)
+ L(t)C(t)
+ vC
dt
dt
dt
v(t) = (R(t)C(t) + L(t)C 0 (t)) v C + L(t)C(t)v C + vC
Eligiendo como variables de estado a
x1 = vC
x2 = v C ;
derivando con respecto al tiempo las variables de estado y considerando v(t) =u(t) se obtiene
x1
x2
y

= x2
1
(R(t)C(t) + L(t)C 0 (t))
1
x1 +
x2 +
u(t)
L(t)C(t)
L(t)C(t)
L(t)C(t)
x1
= x1 = 1 0
x2
=

Problema 2.- Ahora obtenga la representación de espacio estado cuando se elige a la corriente i(t) a través
del inductor como salida y nuevamente como entrada u(t) = v(t):
Solución. De acuerdo con la de nición de estado, las variables de estado pueden servC e i(t), debido a que
cabe la posibilidad que en el instante t0 el capacitor y el inductor estén cargados con un voltaje y corriente iniciales
respectivamente, por lo que dichas variables determinarán la dinámica del circuito en tiempos futuros. Entonces las
variables de estado son
x1 = vC
x2 = i(t);
y de (4) se tiene que
v(t) = x2 R(t) + L(t)x2 + x1 :
Observe que de (3) se tiene que
x2= C(t)x1 ;
por lo tanto la representación espacio estado es
1
x1 =
x2
C(t)
1
R(t)
1
x2 =
x1
x2 +
u(t)
L(t)
L(t)
L(t)
x1
y = x2 = 0 1
x2
Problema 3.- Considere el siguiente circuito eléctrico

Obtener la representación espacio estado si se desea que la salida sea el voltaje a través del inductor, de na
la entrada u1 = v; y u2 = i:
Solución. Se observa que existen dos mallasprincipales, una con un capacitor y la otra con un capacitor y un
inductor. Por lo que, los dos voltajes a través de los capacitores son candidatos a ser variables de estado. La corriente
a través del inductor también es candidata a ser variable de estado, debido a que en un instante inicial el inductor
podría estar cargado. Entonces
x1 = VC1
x2 = VC2
x3 = iL :
Por Ley de Kirchoff devoltajes a través de la malla exterior se tiene que
u1 + VR1 + VC1 + VC2 + VL1 + VR2 = 0:
(5)
Por Ley de Kirchoff de corrientes en el nodo de conexión entre los dos capacitores y la fuente de corriente se obtiene
i1 + u2 i2 = 0;
(6)
donde i1 es la corriente a través del capacitor C1 , e i2 es la corriente a través del capacitor C2 : Considerando (5) y la

de nición de variables de estado setiene que
diL
+ VR2
dt
diL2
+ VR2
u1 + R1 iC1 + VC1 + VC2 + L
dt
dVC1
diL2
u1 + R1 C1
+ VC1 + V C2 + L
+ VR2
dt
dt
:
:
u1 + R1 C1 x1 + x1 + x2 + Lx3 + VR2
u1 + R1 iR1 + VC1 + VC2 + L

=

0

= 0
= 0
= 0

(7)

Ahora, considerando
iL
x3

dVC2
dt
:
= C2 x2 :
= C2

(8)

Tomando en cuenta que
i1 = C1
y de (6) se obtiene que

:

dVC1
dt

x3 = 0
(9)Combinado (7), (8) y (9) se obtiene
1
1
:
x1 =
x3
u2
C1
C1
1
:
x2 =
x3
C2
1
1
R2
1
R1 C1
1
1
:
x3 =
x1
x2
x3 + u1
x3
u2
L
L
L
L
L
C1
C1
:
y = VL = Lx3 ;
nalmente se obtiene que
2 : 3
32
3 2
2
1
1 3
0
0
0
x1
x1
C1
C1
:
u1
1
5 4 x2 5 + 4 0
4 x2 5 = 4 0
0
0 5
C2
:
u2
R1
1
(R1 +R2 )
1
1
x3
x3
L
L
L
L
L
2
3
x1
u1
1
1
(R1 + R2 ) 4...