Teoria de decrementos multiples

TEORÍA DE DECREMENTOS MÚLTIPLES

A lo largo de los cursos de actuariales hemos considerado a la muerte como el fracaso de una persona, o bien, de un estatus determinado, sin embargo, para este tema la vida no es lo único que nos interesa y por tanto, la muerte no será la única forma de “fracasar”. Pensemos en el caso de las pensiones, las compañías están interesadas en saber a partir de cuándoun trabajador ya no podrá laborar con ellos, y estamos de acuerdo que esto se puede dar al menos por tres causas: que el trabajador se jubile, que se incapacite de forma permanente debido a un accidente de trabajo, o bien fallezca. Entonces lo ideal sería modelar el “tiempo transcurrido hasta que un trabajador deja de laborar en la empresa”, tomando en consideración todas las causas por las cualesesto podría suceder. Este caso lo verán de manera mucho más detallada en sus cursos de Seguridad Social y Pensiones Privadas. De la misma manera podemos encontrar muchas aplicaciones en las cuales, dado un estado (que nos encontremos con vida, trabajando, etcétera), nos interesa el tiempo que transcurre hasta la ocurrencia de un evento, el cual puede suceder debido a más de una causa. A partir deeste momento, denominaremos decremento a la terminación de un estatus determinado. Antes de continuar con el desarrollo que veníamos haciendo en la clase, es importante que recapitulemos todo lo ya desarrollado. Consideremos las siguientes variables aleatorias: �� = ��(��): Tiempo transcurrido antes del decremento (fracaso) para una persona de edad ��; cuyas funciones de densidad y distribuciónlas denotamos como ��(��) y ��(��), respectivamente. �� = ��(��): Causa del decremento para una persona de edad ��. Esta variable aleatoria tomará valores en los naturales (tiene mucha coherencia hablar del decremento 1, 2, … , ��), es decir, �� es una v.a. discreta y su función de densidad la detonamos como ��(��). Cabe aclarar que supondremos un soporte finito para esta variable aleatoria, en lapráctica no es conveniente (ni lógico) suponer que tenemos un número infinito de causas por las cuales se puede dar el decremento. Con estas dos variables podemos formar un vector aleatorio (��, ��) cuya función de densidad conjunta denotaremos como ��(��, ��).

~1~

El objetivo es encontrar una expresión (en términos actuariales) de las funciones mencionadas anteriormente y relaciones quepuedan darse entre ellas. Es posible notar que: ℙ �� < �� ≤ �� =
�� �� ∀�� ��

��(��, ��)����
��

⟹ �� �� =
∀�� 0

��(��, ��)���� =
0 ∀��

��(��, ��) ���� = :

(��) �� ����

… (A)

Donde ��(��, ��) = ��(��)
∀��

Este símbolo actuarial ( �� ���� ) lo leeremos como probabilidad de que al tiempo ��, el fracaso se haya dado por cualquier causa de decremento. Tenemos la siguienterelación: = 1 − �� ���� , que es la probabilidad de sobrevivencia (éxito) a todas las causas de decremento hasta el tiempo ��. También:
�� (��) �� ���� (��)

(��)

ℙ 0 < �� ≤ ��, �� = �� =
0 (�� ) �� ����

��(��, ��)���� = :

(�� ) �� ����

… (B)

es la probabilidad de que al tiempo ��, el fracaso se haya dado por la causa de decremento ��, con �� ≥ 0 y �� = 1,2, … , ��, teniendo que: =1 − �� ���� , que es la probabilidad de sobrevivencia (éxito) a la causa de decremento �� hasta el tiempo ��. Es posible calcular las siguientes tasas de fallo. ����+�� =
(��) (�� ) �� ���� (�� )

��(��) = 1 − ��(��)
�� ����

�� (��) �� (��) ���� �� �� �� ����
��

1

=−

�� (��) �� (��) ���� �� �� �� ����

1

=−

ln⁡ �� ���� ) (

… (C)

⟹

�� �� = ����(��) ����+�� ��(��)

~2~

����+�� =

(�� )

��(��, ��) ��(��, ��) = (��) 1 − ��(��) �� ��
��

⟹

�� ��, �� = ��(��) ��(��) ��+�� ��
��

Esto último tiene una interpretación muy ilustrativa, nos da la probabilidad de que una persona, al tiempo ��, sobreviva a todas las causas y que de manera instantánea fracase debido a la causa ��. Pero notemos que de (B)
(�� ) �� ���� �� �� ��

= ��(��, ��)...