Teoria de juegos

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PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA 6: CREDIBILIDAD Y EQUILIBRIO PERFECTO EN SUBJUEGOS Problema nº 2 Resuelva el Juego del reclutamiento de dos jugadores, cuyo gráfico puede verse debajo, cuando la prima de alistamiento es b = $300 y el coste del servicio es c = $400. ¿Cómo cambia esta solución si b = $500? , ¿Qué amenazas y promesas son posibles? Interprete su respuesta en términos de un ejército devoluntarios.

Solución El caso general es

luego las dos propuestas son: 1ª

1



En la 1ª opción el segundo irá voluntario para reducir sus pagos a través de lo que recibe por ser voluntario; no obstante es un voluntario reticente porque su utilidad es negativa. Su amenaza de esperar no es creible porque aumenta su pago. En el 2ª opción el primero va voluntario porque optimiza suutilidad. Esta decisión no es bloqueable porque el 2 no tiene amenaza creible ni posible promesa. La promesa de esperar del primero, si la hiciera, tampoco sería creible.

Problema nº 3 El juego Destrucción mutuamente asegurada (DMA) tiene numerosos equilibrios en estrategias puras, dos de ellos son subjuegos perfectos. Hallar los equilibrios existentes y decir si son creibles los equilibrios que noson subjuegos perfectos. Solución El DMA tienen una representación extensiva del tipo

y sus juegos componentes, para cada equilibrio del final, son

2

1er subjuego Esto nos lleva también a una tabla a,D a,D a,R -L, -L ← → -L, -L ↑ ↓ a,R i,D -L, -L → 0,0 ↑ ↓ i,R 0,0 ↓ 0'5, -0'5

2º subjuego

r,D r,R → 1, -1 ← → 1, -1 ↑ ↓ ← → 0,0 ↑ ↓ ← → 0,0 ↑ ↓ ← → 0,0 ↑ ↓ ← → 0,0

← 1, -1 ← → 1, -1↓ ← → 0,0 ↑ ↓ ← → 0,0

con seis equilibrios Nash como puede comprobarse directamente (observar que el sistema de flechas no es suficiente para decir si es o no equilibrio Nash); de ellos dos, [(i,R), (a,R)] y [(a,D), (r,D)], son equilibrios subjuegos perfectos del juego DMA El equilibrio [(i,D), (a,D)] no es perfecto para el juego DMA porque el par (D,D) significa que estamos en el 2ºsubjuego y en él la amenaza de agravar no es creíble. Los equilibrios [(i,D), (a,R)], [(i,R), (a,D)] y [(a,D), (r,R)] no son creíbles en el DMA porque los pares (D,R) y (R,D) no son Nash y, por tanto, no son alternativas creíbles, en el sentido de que no son sostenibles.

3

Problema nº 4 Supongamos en DMA que al final del juego, si ambos jugadores se retiran, las ganancias son -1'5. ¿Cómo afectaesto a la solución? ¿Por qué es la solución tan sensible a las ganancias finales? El juego estaría descrito por el siguiente gráfico

Solución La representación extensiva es la misma pero sus subjuegos finales son:

1er subjuego amenaza de destrucción es no creíble.

2º subjuego

luego toda solución perfecta es [(a, .), (r, .)] y nunca se entra en la fase final. Cualquier

Problema nº 5 Enla competencia a la Cournot-Stackelberg cada empresa se enfrenta a la demanda de mercado p = 90 - q. Cada empresa tiene un coste unitario de $30 por cada unidad que envía al mercado. Demuestre que la empresa 1 tiene la ventaja del que decide primero, puesta en evidencia por sus ganancias. Comprobar que la empresa 1 está mejor que en el equilibrio de Cournot. Solución 4

p = 90 - q = 90 - x1 -x2 c = 30 B2 = (90 - x1 - x2 - 30)x2 = (60 - x1 - x2)x2 = 60x2 - x1x2 - x2 2 x1 B' = 60 - x1 - 2x2 = 0 → x2 = 30 - 2 2 x1 x1 x2 1 B1 = (90 - x1 - x2 - 30)x1 = (60 - x1 - 30 + 2 )x1 = (30 - 2 )x1 = 30x1 - 2 x1 B' = 30 - 2 2 = 30 - x1 = 0 → x1 = 30 → x2 = 15 → p = 45 1 Observemos que: B1 = 30.15 = 450 > B2 = 15.15 = 225 luego tiene ventaja la primera empresa que decide primero. En el equilibrio deCournot tendríamos x = 30-x/2 → x1 = 20 → p = 50 → B1 = 400 < 450

Problema nº 7 En un mercado que se rige por competencia al estilo Cournot-Stackelberg y que tiene como curva de demanda p = 130 - q, y coste unitario c = 10, el jugador 2 ofrece producir 25 si el 1 produce 35. Explicar la posible fundamentación de la ofertapromesa y decir si es creíble la promesa. Solución Si ambos actúan como...
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