Teoria de la medida

En matemáticas, una medida es una función que asigna un número real positivo o cero, interpretable como un "tamaño", un "área", un "volumen", o una "probabliidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.
A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjuntobase se revela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos, asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.
La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas,funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.

Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobre un conjunto X con valores en el intervalo real extendido [0, ∞], que verifica:
La medida del conjunto vacío es cero: μ() = 0.
Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntos disjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es suunión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,

La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
[editar]Propiedades

Varias propiedades pueden deducirse directamente de la definición.
[editar]Monotonía
μ es monótona: si y son dos conjunto medibles, con , entonces .
[editar]Uniones contables
Si E1, E2, E3, ...es una sucesión contable de conjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y

Si se tiene además que En ⊆ En+1 para todo n, entonces

[editar]Intersecciones contables
Si E1, E2, E3, ...es una sucesión contable de conjuntos medibles, y En+1 ⊆ En para todo n, entonces la intersección de los conjuntos En es medible (de nuevo, por la definición de σ-álgebra);más aún, si al menos uno de los En tiene medida finita, entonces

Esta igualdad no es necesariamente cierta si ninguno de los En no tiene medida finita; por ejemplo, para cada n ∈ N, tómese

Todos estos conjuntos tienen medida infinita, de modo que el límite al lado derecho de la igualdad es ∞; sin embargo, su intersección es vacía y por lo tanto tiene medida 0.
[editar]Medidas sigma-finitasUn espacio de medida (X, Σ, μ) se dice finito si μ(X) es un número real finito (en lugar de ∞). Y se dice σ-finito (leído sigma finito) si X es la unión contable de conjuntos medibles de medida finita. Un conjunto en un espacio de medida tiene medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos de medida finita.
Por ejemplo, los números reales con la medida de Lebesgue estándar forman unespacio σ-finito pero no finito. Considérese el intervalo cerrado [k, k+1] para cada entero k; hay una cantidad contable de tales intervalos, cada uno tiene medida 1, y su unión es la recta real completa. Alternativamente, tómense los números reales con la medida de conteo, que asigna a cada conjunto finito de números reales el número de puntos en el conjunto. Este espacio de medida no es σ-finito,ya que cada conjunto de medida finita contiene finitos puntos, y se necesitaría una cantidad no contable de ellos para cubrir la recta entera. Los espacios de medida σ-finita tienen algunas propiedades convenientes; así, la σ-finitud puede ser comparada a la separabilidad de los espacios topológicos.
[editar]Completitud

Un conjunto medible S es llamado un conjunto nulo si μ(S) = 0, y conjuntodespreciable si está propiamente contenido en uno nulo. La medida μ se dice completa si todo conjunto despreciable es medible (y por lo tanto, nulo también).
Una medida puede extenderse a una completa considerando la σ-álgebra de conjuntos T ⊆ X que difieren de un conjunto medible S en un conjunto despreciable; esto es, tal que la diferencia simétrica T Δ S está contenida en un conjunto nulo....