Teoria De Numeros

“Las matemáticas nos ayudan a descubrir la lógica que subyace al mundo tan complejo y caótico en el que vivimos”

Marcus du Sautoy

INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN

MATEMÁTICAS DISCRETAS

Teoría de números

Alumnos
Francisco Lázaro Márquez Felipe Santiago González

Índice:

1.- Teoría de números 1.1Divisibilidad 1.1.1 Números primos 1.1.2Criba de Eratóstenes 1.2 Algoritmo de la división1.3 Pruebas de primabilidad

1.1 Divisibilidad
1.1.1 Números primos

Se llaman así a todo numero entero positivo mayor que uno, que es únicamente divisible por la unidad y por si mismo. Ejemplos 5 {1,5} 19 {1,19} 15 {1, 3, 5,15} 15 no es un numero primo, y si no es un numero primo entonces que es ¿? Es un número compuesto Los números que tienen más divisores se llaman compuestos El numero 2es el único numero par que es primo Los números 2 y 3 son además de ser primos los únicos en esta lista que son consecutivos Estos números los números primos son los mas importantes en las matemáticas porque todos los números se forman multiplicando los primos entre si, así pues un numero como 105 seria 3 multiplicado por 5 multiplicado por 7. Miren en esta serie 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Losprimos son a los números como los átomos son a la materia, al igual que cualquier cosa se puede dividir en átomos cualquier numero se puede dividir en números primos 15{3 por 5} 78{2 por 3 por 13} Siguiendo la serie tras el 17 vendrían el 19, 23, 29, 31… Pero hasta la fecha no existe ninguna formula matemática que nos permita predecir cual será el siguiente numero primo no existe una regla como enla serie de Fibonacci pero aunque no tenemos ninguna regla para predecirlos sabemos que hay infinitos primos millones, millones, billones, billones de billones

Como sabemos que hay tantos ¿?

Hace más de 2000 años Euclides demostró con un sencillo ejemplo que hay infinitos números primos.

Imagina que solo conoces estos cuatro números primos {2, 3, 5, 7} y quieres saber si existen más

Silos multiplicamos entre si 2 x 3 x 5 x 7 = 210 esta claro que este número no es un número primo ya que si lo dividimos entre los cuatro números de la serie nos da un entero 210/2 = 105 210/3 = 70 210/5 = 42 210/7 = 30 Así que definitivamente 210 no es un número primo. Pero para demostrar que existen números primos mayores que nuestra serie, Euclides tuvo la idea de realizar lo siguiente Añadir 1al resultado 210 + 1 = 211 El nuevo número no se pudo dividir por 2, 3 ,5 ,7 211/2 = 105.5 211/3 = 70.33 211/5 = 42.2 211/7 = 30.142

Si consideramos que todos los números se construyen a partir de primos significa que 211 se podrá dividir entre otros numero mayores que 7. 211/11 = 19.18 211/13 = 16.23 211/17 = 12.41 211/19 = 11.10 Si 211 no se puede dividir por esos números mayores que 7quiere decir que 211 también es primo, cuando multiplicas números primos y añades 1 al resultado siempre obtienes un primo nuevo o un numero divisible por un primo que no esta en la lista 2x3=66+1=7 31 2 x 3 x 5 x 7 = 210  201 +1 = 211 2 x 3 x 5 = 30  30 +1 =

Así que por lo tanto siempre habrá números primos mayores que tu lista de partida por mas grande que sea. Esta es la idea que demostróEuclides, siempre hay un número primo mayor.

Desde que Euclides demostró que los primos son infinitos no hemos parado de encontrar estos números cada vez más y más grandes el mayor que hemos encontrado tiene unos 13 millones de dígitos pero todavía hoy seguimos sin saber que patrón entrañan.

Los números primos son como los átomos como el hidrogeno y el oxigeno son los ladrillos que construyenlas matemáticas del universo la pregunta es hay algún patrón en estos números, entre mas encontramos estos números nos damos cuenta de que se parecen mas a una serie escogida a lazar que no tienen ningún patrón seria posible para nosotros encontrar el misterio que esconden los números primos de hecho hay un premio de 1 millón de dólares al primero que pueda dilucidar el patrón de estos números tan...