Teoria de ruffini

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|Año académico: 2009-2010 | | |I.E.S. “Cuenca del Nalón” |
| | |Departamento Didáctico de Matemáticas | | |
|Nivel: Bach. |CCSS | | | ||Complementos teórico-prácticos. |Tema: Regla de Ruffini y Teorema del resto. |
|Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S. |

RECUERDA

← Otra forma de dividir: DIVISIÓN RUFFINI.

✓ Cuando el divisor sea un binomio, podemos aplicar una regla muy sencilla queconsiste en lo siguiente. Sea el polinomio divisor [pic], y el polinomio dividendo [pic], para hacer la división por la regla de Ruffini, hay que realizar los siguientes pasos:

➢ Ordenar (en sentido decreciente) y completar con ceros el dividendo:

[pic]

➢ Se escriben en hilera los coeficientes del polinomio dividendo, en el mismo orden en que se encuentran en elpolinomio.

[pic]

➢ En el extremo izquierdo, y en segunda hilera, se escribe el opuesto del término independiente del polinomio divisor.

[pic]

➢ A la siguiente hilera se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como está.

➢ Se multiplica éste por el opuesto del término independiente del divisor y el resultado se sitúa debajo delsegundo coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitúa en la última hilera a la derecha del primer coeficiente.

[pic]

➢ Se multiplica, de nuevo, ése resultado por el opuesto del término independiente del divisor, y el resultado se sitúa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitúa en la última hilera a laderecha del resultado anterior, y así sucesivamente hasta completar todos los términos del polinomio.

[pic]

➢ El último valor de la última fila es el resto de la división, en este caso es 25, y los números anteriores de la última fila son los coeficientes del polinomio cociente ordenados en sentido decreciente (tener en cuenta que éste es de grado uno menor), así:• Cociente [pic], resto: 25.
• Comprobación: [pic]
[pic] c.q.d.
Teorema del resto:

El resto de dividir un polinomio de grado n, Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +….. + a2x2 + a1x + a0, por un binomio de la forma[pic], es igual al valor numérico de dicho polinomio para x =[pic].

Si el resto es cero la división se dice exacta y al valor [pic] se le denomina cero, raíz osolución del polinomio.

Si x1 , x2 , x3 , …., xn son los ceros, raíces o soluciones de un polinomio de grado n, entonces dicho polinomio lo podemos escribir, descompuesto en factores, como:

Pn(x) =[pic], siendo [pic] divisores exactos del mismo.

Gráficamente los restos equivalen al valor en la ordenada, en consecuencia, los valores de x para los que el resto es nulo equivalen a los puntosde corte con el eje de abscisas.

LEMAS:

Lema 1: Los ceros, raíces o soluciones de un polinomio son divisores de su término independiente.
Lema 2: Hay tantos ceros, raíces o soluciones positivas como cambios de signo hay en el polinomio.
Lema 3: Hay como máximo tantas soluciones reales como grado tiene el polinomio.

Corolario: Los ceros, raíces o soluciones se encuentran entre losdivisores de su término independiente.

OBS. IMPORTANTE: el número de raíces, soluciones o ceros del polinomio de signo positivo es igual al número de cambios en el signo que se produzcan dentro del polinomio.

Ejemplos:

E1.- Sea el polinomio de quinto grado:

P5(x) = [pic]

Nº de cambios de signo: 2 Nº de raíces positivas: 2
Posibles raíces: (Como es de quinto grado habrá como mucho 5)...
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