Teoria del riesgo

Introducci´n a la o teor´ del riesgo ıa

Luis Rinc´n o Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 M´xico DF e

Enero 2012

Pr´logo o
El presente texto contiene los temas del curso semestral de teor´ del riesgo ıa que el autor ha impartido a estudiantes de ultimo semestre de la carrera de ´ actuar´ en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contieneel material b´sico ıa a para un curso introductorio a ciertos temas de la teor´ del riesgo aplicada ıa a seguros, e incluye una colecci´n de ejercicios. La mayor parte del material o que se presenta aqu´ fue compilado de las fuentes que aparecen al final del ı texto. Espero que este material sea de alguna ayuda para los numerosos alumnos de las distintas escuelas de actuar´ y de matem´ticasaplicadas de ıa a pa´ de habla hispana, y contribuya tambi´n a apoyar el trabajo docente ıses e A de sus profesores. El texto fue escrito en el sistema L TEX, las ilustraciones fueron elaboradas usando el paquete pstricks. La ultima versi´n disponible ´ o de este texto en su formato digital puede encontrarse en la p´gina web a http://www.matematicas.unam.mx/lars Agradezco sinceramente los comentarios,correcciones y sugerencias que he recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Y agradezco tambi´n el apoyo del proyecto PAPIME PE103111 a trav´s del e e cual pudo ser posible el desarrollo y la edici´n de este texto. Toda comunio caci´n puede enviarse a la cuenta de correo que aparece abajo. o

Luis Rinc´n o Enero 2012 Ciudad Universitaria UNAM lars@fciencias.unam.mxContenido
1. Modelo individual vs modelo 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . o 1.2. Modelo individual . . . . . 1.3. F´rmula de De Pril . . . . . o 1.4. Modelo colectivo . . . . . . 1.5. Modelo colectivo Poisson . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 . 3 . 8 . 16 . 23 . 30 41 41 49 50 51 55 61 61 69 71 72. . . . . .

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2. F´rmula de Panjer y m´todos de aproximaci´n o e o 2.1. F´rmula de Panjer . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Aproximaci´n normal . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3. Aproximaci´n gamma trasladada . . . . . . . .. o 2.4. Aproximaci´n de Edgeworth . . . . . . . . . . . . o 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Principios para el c´lculo de primas a 3.1. Principios generales . . . . . . . . . . 3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Primas y funciones de utilidad . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Reaseguro 79 4.1. Reaseguro proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2. Reaseguro no proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 87 iii

iv

Contenido

5. Teor´ de la credibilidad ıa 95 5.1. Credibilidad cl´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 a 5.2. Credibilidad Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6. Procesos estoc´sticos a 6.1. Filtraciones y tiempos de paro 6.2. Cadenasde Markov . . . . . . 6.3. Proceso de Poisson . . . . . . . 6.4. Martingalas . . . . . . . . . . . 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....