Teorias de falla

Representado un cubo elemental (lados, áreas laterales y volumen unitarios)
de un dado material, sometido el mismo a un estado tridimensional de
tensiones y en equilibrio, la siguiente FIGURA 01 muestra tal situación:
En el mismo y recordando el teorema de Cauchy, las tensiones tangenciales
τ actuantes en planos normales (a 90º) entre si, convergen a o divergen de
la recta (intersección,arista) común a dichos planos, verificándose además:
⎜ τxy ⎥ = ⎜ τyx ⎥ ;;; ⎜ τxz ⎥ = ⎜ τzx ⎥ ;;; ⎜ τyz ⎥ = ⎜ τzy ⎥
Las tensiones normales σ se consideran positivas si traccionan el cubo, esto
es, si están dirigidas hacía afuera del mismo y negativas si son de
compresión, esto es, si están dirigidas hacia dentro del cubo. Su subíndice
indica el eje cartesiano que es normal al plano en el cualactúan o bien,
que es paralelo a ellas.
El primer subíndice de las tensiones tangenciales τ, indica el eje coordenado
que es normal al plano en el cual actúa y el segundo, el eje coordenado al
cual es paralela.
La siguiente FIGURA 02 indica un estado biaxial o plano de tensiones en
donde tanto las tensiones normales como tangenciales, conforme la dirección
de uno de los ejes coordenados, en elcaso de la figura el Z, son nulas.
σx
σy
σz
τxy
τyx
τyz
τzy
τzx τxz
Y
X
Z FIGURA 01
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Se trata, dado un estado tensional plano o biaxial conocido o dato, de
conocer cuales serían las tensiones normal y tangencial actuantes sobre otros
planos que los dados y que dirección tienen los planos cuando las tensiones
normal y / o tangencial sobre ellosactuantes, son máximas o mínimas. Para
ello “debe cortarse imaginariamente” el cubo elemental dado con un plano
que forme un ángulo θ cualquiera y por lo tanto general, con la dirección del
eje Y, por ejemplo, según la siguiente FIGURA 03:
σθ y τθ “reemplazan” la acción de la parte extraída y resultan las incógnitas
del problema. Siendo que el “elemento” en estudio debe seguir
permaneciendo enequilibrio; por proyección de los esfuerzos intervinientes
σx
FIGURA 02
X
τyx
Y σy
τxy
σx
σy
τxy
τyx
σx
τyx
FIGURA 03
τxy
σy
X
Y
σθ
τθ
θ
ds
dy
dx
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sobre los ejes X e Y y anulando dz por ser común a todos ellos, se
obtiene:
σθ * ds * cos(θ) -- τθ * ds * sen(θ) -- σx * dy -- τyx * dx = 0
σθ * ds * sen(θ) + τθ * ds * cos(θ) -- σy * dx -- τxy * dy= 0
El sistema de dos ecuaciones obtenido, permite conocer las dos incógnitas
σθ y τθ, dadas las demás variables como datos del problema, por lo que y
siendo τxy = τyx, operando algebraicamente y siendo de aplicación:
(cos(θ))^2 + (sen(θ))^2 = 1 ;;;; sen(2θ) = 2 * sen(θ) * cos(θ)
2 * (sen(θ))^2 = 1 -- cos(2θ) ;;;; 2 * (cos(θ))^2 = 1 + cos(2θ)
sen(2θ)
tg(θ) = ------------------ ;;;; seobtiene:
1 + cos(2θ)
σx + σy (σx -- σy) * cos(2θ)
σθ = ------------ + ----------------------------- + τxy * sen(2θ)
2 2
(σy -- σx) * sen(2θ)
τθ = + ------------------------------ + τxy * cos(2θ)
2
Obtenidas σθ y τθ como función de θ, interesa conocer los ángulos θn y
θt que hacen máximas o mínimas y respectivamente σθ y τθ. Derivando las
respectivas ecuaciones respecto a θ, igualando a cerodichas derivadas y
operando algebraicamente, se obtiene:
2 * τxy -- (σx -- σy)
tg(2θn) = ------------ ;;;;;;; tg(2θt) = -----------------
σx -- σy 2 * τxy
Definición: Los planos que verifican que la tensión normal actuante
en ellos es máxima o mínima, son llamados planos principales y
la tensión normal actuante en ellos, tensión principal.
Las ecuaciones anteriores, arrojan, tanto para θncomo para θt y
para cada uno de ellos, dos valores, diferenciados entre sí el
valor Nºπ / 2, esto es 90º; por lo que, los planos principales son
perpendiculares entre sí como así también, los planos donde
actúan las máximas o mínimas tensiones tangenciales resultan
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también perpendiculares entre sí.
Reemplazando el valor de θn en la expresión de τθ, resulta...