Teoría de Control

Sistemas de primer orden

Vamos a agregar a nuestro modelo una complicación. Sin cambiar las líneas generales del dispositivo, sólo haremos que las guías lubricadas que no presentaban fricción, manifiesten ahora fricción viscosa, o sea, que se transforman en un amortiguador viscoso.




Aplicamos una segunda fuerza FR, proporcional a la velocidad (esto es, a la primera derivada deldesplazamiento dy/dt), debe ser agregada a la fuerza generada por el resorte. Tendremos entonces:



Donde R es la resistencia viscosa del amortiguador. Nuestra ecuación del movimiento será entonces:



Lo que indica que tenemos ahora dos propiedades del sistema, R y K. Pasamos de esta manera a un nuevo tipo de ecuaciones.

Es una ecuación diferencial de primer orden debido a que la derivadamayor es la primera. Por esta razón, llamamos al sistema descrito por esta ecuación un sistema de primer orden. La solución de esta ecuación puede consistir en una relación funcional, libre de derivadas, entre la variable dependiente y y la variable independiente t. De esta manera tanto la entrada como la salida están implícitamente relacionadas a través de la variable independiente común t.Dejaremos para más adelante las consideraciones con respecto a cómo podemos llegar a estas soluciones. A los efectos de esta exposición, asumiremos que disponemos de estas soluciones y examinaremos algunas de sus características.

Usaremos el símbolo s para indicar la operación de diferenciación, o sea, haremos que s(y) =dy/dt. De esta manera la ecuación puede ser re-escrita como:




Esconveniente combinar las dos propiedades del sistema R y K en un único parámetro, la constante de tiempo (t), definida como R/K. En estos términos, la ecuación queda como:



y resolviéndola para y:



Una vez más, podemos llamar al término entre corchetes la función de transferencia del sistema, porque es la cantidad por la que el sistema multiplica la entrada para generar la salida. Elsiguiente diagrama expresa esta relación:




Por supuesto, a esta altura no hemos avanzado mucho en la resolución de la ecuación, ya que la sustitución de la derivada por s es solamente un truco de notación, y nosotros no sabemos verdaderamente aún que significa multiplicar F por una función de s. Sin embargo, veremos más adelante que cuando este truco se formaliza en forma rigurosa por el métodode la transformada de Laplace, encontraremos exactamente la misma forma de la función de transferencia y podremos resolver nuestra ecuación diferencial. Por eso hemos elegido este truco, que es además de algún significado intuitivo. Examinemos ahora el comportamiento de y para una particular entrada, o sea, la solución de la ecuación para un particular F(t). Utilizaremos elmismo tipo de entrada que en el primer ejemplo, o sea una función en escalón, recordando que se caracteriza porque F= 0 para t 0 y F=F1 para t 0, y que nuestro análisis comienza con el sistema a cero (y = 0). Graficando nuevamente la función de entrada y un par de respuestas para dos diferentes valores de la constante de tiempo, tendremos (Fig. 1.17)









Podemos notar enseguida una diferencia entre el comportamiento de este sistema comparado con el de un sistema de orden cero. La salida y no sigue más a F en forma instantánea, sino que hay un retraso antes de que y llegue a su valor estacionario F1/K. El valor de y que sigue a la aplicación de una función tipo escalón como entrada depende no solamente del valor de F sino también del momento en el cual se mide.Nuestro sistema no solamente cambia el tamaño de la señal de entrada sino que también altera su comportamiento en el tiempo. Si usamos funciones en escalón de diversa magnitud, esperamos que y llegue a su valor final estacionario en cada caso, y entonces graficamos este valor de y contra el correspondiente F, obtendremos el mismo tipo de curva de ganancia que para un sistema de orden cero....