Teoría De Secciones Conicas

1. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:
Se debe expresar la ecuación en la forma:
(1)
Así,

(Completación de cuadrados)
(2) (Factorizando)


Así que las coordenadas del vértice son .
Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce
entonces que la parábolase abre hacia arriba.
El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación
y el foco se encuentra localizado en el punto
, esto es,
fig. 6.5.6.
La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto es,


2. Una parábola con vértice en O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Hallar la ecuación de la parábola, ecuación dela directriz, coordenadas del foco y graficar.
Solución:
= distancia del vértice al foco.



Fig. 6.5.4.
De la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

3. Determine el vértice V y la ecuación de laparábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
Solución:
Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecuación y = 2.
El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el puntomedio entre la directriz y el foco.
Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).


fig. 6.5.5.
Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:
ó

4. Dada la parábola que tiene por ecuación
x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.Solución:
la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).
La ecuación de la directriz es la recta ,
es decir,

5. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F(3,0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .


fig. 6.5.8.
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

6.Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:
25x2 + 4y2 = 100
Solución:
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:
x 2 + y 2= 1 (porqué?)
4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, ,de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.


fig. 6.5.9.
7. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completación de cuadrado)
(factorización y simplificación)

(dividiendo por 4)


Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).
Los vértices...