Teoría De Vectores
Páginas: 5 (1164 palabras)
Publicado: 1 de mayo de 2012
VECTORES EN EL PLANO
vectores libres
VECTOR:
•
Segmento orientado, con un origen y extremo.
•
Módulo: es la longitud del segmento orientado,
→
es un número positivo y su símbolo es a
•
•
Dirección: es la recta que los contiene
Sentido: está dado por la orientación de la
flecha.
El vector libre es independiente del lugar en
el que se encuentra.
IGUALDAD DE VECTORES:dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma
dirección e igual sentido.
VECTORES ESPECIALES:
→
VECTOR NULO: Su símbolo es 0 . Es el vector cuyo módulo es cero, es decir que su
origen coincide con el extremo, y se representa como un punto.
→
→
VECTOR OPUESTO: El vector − v es opuesto al v si tienen igual dirección y módulo pero
sentido contrario.
SUMA DE VECTORESExisten dos métodos para sumar vectores:
a) Regla del paralelogramo
Regla de la poligonal
Para más de dos vectores:
DIFERENCIA DE VECTORES
Como todo vector tiene su opuesto, la resta se puede definir como la suma de su opuesto:
→
→ → →
u − v = u + − v
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar
lapropiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
→
→
→
→
Un vector w es combinación lineal de otros vectores v 1 , v 2 , v 3 … si existen los escalares
(reales)
α1,α 2 ,α 3 ,...
ur
uu
r
uur
uur
w = α1v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + ...
tales que
Un conjunto de vectores linealmenteindependientes definen un espacio
2
,
3
,...
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
→
Se llama producto de un vector
v por un número “k”, al vector que tiene:
→
v
•
La misma dirección de
•
El módulo es igual al producto de “k” por el módulo
•
El sentido lo da el signo de “k”, si es positivo será del mismo sentido que
será de sentido contrario.
→
v
.
→→
Ejemplo a:
2.
v
→
v
→
2.
→
Ejemplo b:
-2. v
v
→
v
→
-2. v
v , si es negativo
COORDENADAS CARTESIANAS
VECTORES EN EL ESPACIO
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia
de los vectores, que estará formado por un origen y
tres ejes perpendiculares ( o dos si son el plano). Este
sistema de referencia permite fijar la posición de unpunto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma
general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
$
j
Si tomamos tres vectores unitarios, $ sobre OX, $ sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos
i
encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
u
r
$
A = Ax $ + Ay $ + Az k
i
j
Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores:
u
r
$
A = Ax $ + Ay $ + Az k
i
j
u
r
$
B = Bx $ + By $ + Bz k
i
j
La expresión correspondiente al vector suma
ur
$
C = Cx $ + C y $ + Cz k
i
j
u u u ur
rrr
S = A+ B +C
es:
u
r
$
S = ( Ax + Bx + Cx )$ + ( Ay + By + C y ) $ + ( Az + Bz + Cz )k
i
j
Propiedades
→
→
→
Conmutativa: A+ B = B + A
→
→
→
→
→
→
→
→
Asociativa: A+ B + C = A+ B + C
→
→
→
→
Elemento Simétrico: A+ − A = 0
→
Elemento Neutro: A+ 0 = 0 + A
Producto de un vector por un escalar
→
→
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v , expresado analíticamente por k v , es
otro vector con las siguientes características:
→
1.- Tiene la mismadirección que v .
→
2.- Su sentido coincide con el de v , si k es
un número positivo, y es el opuesto, si k es
un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que
→
representa el módulo de v . ( Si k es 0 el
resultado es el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el
escalar por cada una de las coordenadas del
vector.
Propiedades
→
→
Conmutativa:...
vectores libres
VECTOR:
•
Segmento orientado, con un origen y extremo.
•
Módulo: es la longitud del segmento orientado,
→
es un número positivo y su símbolo es a
•
•
Dirección: es la recta que los contiene
Sentido: está dado por la orientación de la
flecha.
El vector libre es independiente del lugar en
el que se encuentra.
IGUALDAD DE VECTORES:dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma
dirección e igual sentido.
VECTORES ESPECIALES:
→
VECTOR NULO: Su símbolo es 0 . Es el vector cuyo módulo es cero, es decir que su
origen coincide con el extremo, y se representa como un punto.
→
→
VECTOR OPUESTO: El vector − v es opuesto al v si tienen igual dirección y módulo pero
sentido contrario.
SUMA DE VECTORESExisten dos métodos para sumar vectores:
a) Regla del paralelogramo
Regla de la poligonal
Para más de dos vectores:
DIFERENCIA DE VECTORES
Como todo vector tiene su opuesto, la resta se puede definir como la suma de su opuesto:
→
→ → →
u − v = u + − v
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar
lapropiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
→
→
→
→
Un vector w es combinación lineal de otros vectores v 1 , v 2 , v 3 … si existen los escalares
(reales)
α1,α 2 ,α 3 ,...
ur
uu
r
uur
uur
w = α1v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + ...
tales que
Un conjunto de vectores linealmenteindependientes definen un espacio
2
,
3
,...
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
→
Se llama producto de un vector
v por un número “k”, al vector que tiene:
→
v
•
La misma dirección de
•
El módulo es igual al producto de “k” por el módulo
•
El sentido lo da el signo de “k”, si es positivo será del mismo sentido que
será de sentido contrario.
→
v
.
→→
Ejemplo a:
2.
v
→
v
→
2.
→
Ejemplo b:
-2. v
v
→
v
→
-2. v
v , si es negativo
COORDENADAS CARTESIANAS
VECTORES EN EL ESPACIO
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia
de los vectores, que estará formado por un origen y
tres ejes perpendiculares ( o dos si son el plano). Este
sistema de referencia permite fijar la posición de unpunto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma
general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
$
j
Si tomamos tres vectores unitarios, $ sobre OX, $ sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos
i
encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
u
r
$
A = Ax $ + Ay $ + Az k
i
j
Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores:
u
r
$
A = Ax $ + Ay $ + Az k
i
j
u
r
$
B = Bx $ + By $ + Bz k
i
j
La expresión correspondiente al vector suma
ur
$
C = Cx $ + C y $ + Cz k
i
j
u u u ur
rrr
S = A+ B +C
es:
u
r
$
S = ( Ax + Bx + Cx )$ + ( Ay + By + C y ) $ + ( Az + Bz + Cz )k
i
j
Propiedades
→
→
→
Conmutativa: A+ B = B + A
→
→
→
→
→
→
→
→
Asociativa: A+ B + C = A+ B + C
→
→
→
→
Elemento Simétrico: A+ − A = 0
→
Elemento Neutro: A+ 0 = 0 + A
Producto de un vector por un escalar
→
→
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v , expresado analíticamente por k v , es
otro vector con las siguientes características:
→
1.- Tiene la mismadirección que v .
→
2.- Su sentido coincide con el de v , si k es
un número positivo, y es el opuesto, si k es
un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que
→
representa el módulo de v . ( Si k es 0 el
resultado es el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el
escalar por cada una de las coordenadas del
vector.
Propiedades
→
→
Conmutativa:...
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