Termometro

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Señales y Sistemas I

Transformada de Fourier
Antonio Bonafonte Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) con la colaboración de Asunción Moreno Otoño 2008
v. (29 de mayo de 2009)

ii

Índice general
2. Transformada de Fourier 2.1. Series y Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.Autofunciones de los S.L.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Representación de la Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Aplicación a S.L.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2.2. Convergencia de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Convergencia cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Generalización de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simetrías: paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hermicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escalado . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicación por t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Transformada de Fourier de señales periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. De series de Fourier a transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 1 2 4 10 15 17 18 19 20 20 22 22 22 23 25 28 30 31 32 34 35 37 38 39 42 42

iv 2.5.2. De la transformada de Fourier a las series de Fourier.

ÍNDICE GENERAL . . . . . . . . . . . 4447 49 50 52 54 56 56 62 63 66

2.5.3. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Interpolación en el muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3.Muestreo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Limitación en tiempo y en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Limitación en banda: efecto en las discontinuidades . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Enventanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Resumen de Transformadas de Fourier y Propiedades . .. . . . . . . . . . . . . . 2.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 2

Transformada de Fourier
En el tema I, vimos que, como cualquier señal x(t) puede ponerse como combinación lineal de funciones δ(t) y δ(t−t0 ), el conocimiento de h(t) = T [δ(t)] caracteriza a cualquier sistema lineal e invariante. Sin embargo, la función...
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