Tiempo de evacuación de agua en un recipiente cilindrico, Mecánica de fluidos



Tiempo de evacuación en un tanque







Objetivo
Determinar por medio de experimentación el tiempo que le toma a agua contenida en un recipiente cilíndrico llegar a cierto nivel mediante el drenaje de esta a través de 3 agujeros de un mismo diámetro, para comparar el valor obtenido mediante observación y medición, con un modelo analítico basado en una ecuación diferencial devaciado de tanques.
Marco teórico
Ecuación de continuidad:
La ecuación de continuidad es muy útil para describir los fluidos en movimiento. Para emplear dicha ecuación se deben tener en cuenta ciertos aspectos, como:
Fluido incompresible
Temperatura constante
Flujo laminar
Flujo continuo
Flujo irrotacional
No hay viscosidad

La ecuación de continuidad se expresa como
A1V1= A2V2
En el casode la ecuación de continuidad integral, la rapidez de variación de masa en el sistema es igual a la del volumen de control más el flujo de la masa a través de la superficie de control, por lo que la ecuación queda de la forma:
(1)
Donde la primer parte de la ecuación es la variación instantánea de la masa en el sistema.Debido a que esta no varía con el tiempo, el término es nulo.
Para determinar las ecuaciones diferenciales de un tanque con orificio se debe tener en cuenta la geometría del recipiente pues la geometría determina el comportamiento físico del agua.
La velocidad con la que el agua fluye a través del orificio se determina mediante la ecuación.

Donde h es la altura del líquido en el recipientey g la gravedad. Sin embargo, también se debe tener en cuenta la contracción que sufre el líquido al fluir a través del orificio, de tal manera que la ecuación queda
(2)
C, el coeficiente de descarga se toma como 1 al menos que el dato sea dado. (Éste se encuentra entre 0 y 1).
Si se desea encontrar la razón con la que el fluido fluye por el orificio, teniendo en cuenta la ecuación anterior,se toma:
(3)
Donde a es el área del orificio.
Para determinar el volumen de la sección transversal, se debe tener en cuenta el área transversal A(h), de tal manera que el volumen es:

Finalmente, la ecuación diferencial relacionada con el problema de vaciado del tanque queda como:
(4)
En el caso de aporte del líquido altanque, la ecuación diferencial queda definida así:
(5)

Experimentación
Para realizar el modelo físico para la solución del problema se utilizó una botella de gaseosa de 1.75 L a la cual se le retiró la parte superior y se le abrieron 3 orificios pequeños de 4mm de diámetro en el costado, ilustrados por la figura 1.
Procedimiento:
1. Setoma la botella con las perforaciones (Figura 1) y se llena de agua hasta una altura de 5 cm por encima del primer agujero. Es decir a 15 cm desde el agujero más bajo.
2. Se toman 5 mediciones del tiempo que le toma al nivel del agua desde su altura inicial llegar al primer agujero, incluyendo el tiempo en el agua deja de fluir por este.
3. Se registran los valores en una tabla obteniendo eltiempo promedio.
4. Se obtiene un valor de 18,068 segundos.
5. Se compara el modelo numérico con el modelo real.

Figura 1.Botella usada en la determinación del tiempo.


Medición
Tiempo (s)
1
17,11
2
18,44
3
18,22
4
18,7
5
17,87
Promedio
18,068
Tabla 2. Tiempos obtenidos mediante medición.
Para el cálculo del tiempo de forma numérica en el cual el nivel de agua alcanza laaltura del primer orificio se recurre al uso de la ecuación diferencial para vaciado de tanques expuesta en la formula (5).




Se tiene así que los datos para realizar estos cálculos son los siguientes:
Orificio
Diámetro orificio (cm)
Área orificio (cm2)
Altura (cm)
1
9,9
76,97687399
15
2
0,4
0,125663706
10
3
0,4
0,125663706
5
4
0,4
0,125663706
0
Tabla 1. Alturas de los...