Titulo

UNIDAD TRES FAMILIA DE RECTAS
Familia de línea recta: La ecuación de la recta queda determinada completamente si se
conocen dos condiciones independientes, por ejemplo, dos de sus puntos ó uno de sus
puntos y su pendiente.
Una recta cumple solo una condición, no es una recta única, por lo que existe una
infinidad de rectas que satisfacen dicha condición y tiene una propiedad en común.
Porlo tanto la totalidad de las rectas que cumplen con una única condición geométrica
se denominan “familia de rectas”.
Si consideramos a todas las rectas cuya pendiente es 7, la totalidad de ellas forman una
familia de rectas paralelas y que tienen como propiedad común que su pendiente es 7.
Al aplicar la ecuación pendiente y ordenada en el origen se tiene lo siguiente:
Y=mx+b
Y=7x+b
Y=7x+kK= constante arbitraria que se le asigna cualquier valor real. En la ecuación k representa
el segmento que la recta determina sobre el eje “y”.
Al tomar “k” un valor particular se obtiene la ecuación de las rectas que forman una
familia; por ejemplo: determinar las familias de rectas que es (0, 2) y (-3)
despectivamente.
Y=7x+k
Y=7x+0
7x-y=0
Si consideramos todas las rectas que pasan por elpunto A (-4, 3), si se aplica la
ecuación punto y pendiente de la recta tenemos:
A (-4, 3)

y-y1=m(x-x1)
Y-y1=k (&-&1)
Y-3=k(x-(-4))
Y-3=k (&+4)

Al tomar k un valor particular se obtiene la ecuación de cualquiera de las rectas que
forma la familia; por ejemplo: determina las familias par cuando k=0, 2 y -1 de acuerdo
al punto A y -1.
Para k=0
Y-y1=k(x-x1)
Y-3=0(x-(-4))
Y-3=0
y=3para k=2
y-y1=2(x-x1)
y-3=2(x+4)
y-3=2x+8
2x-y+3+8=0
2x-y+11=0
-y=-2x-11
y=2x+11

para k=-1
y-y1=-1(x-x1)
y-3=-1(x+4)
y-3=-x-4
y-3+x+4=0
x+y+1=0
y=-x-1

K=2

K=0

K=-1

La familia de rectas obtenidas se le conoce también como HAZ de rectas de un vértice
dado.
Por todo lo anterior se observa que una recta de una familia de rectas queda determinada
al asignarse un valorespecifico a la constante “k” que se denomina parámetro de la
familia.
La definición de familia es útil para hallar la ecuación de una recta en particular, el
proceso consta de dos pasos.
1.- Se aplica la forma de la ecuación que satisfaga la condición dada desinhibiendo
la familia ó HAZ de recta.
2.-dada otra condición se determina el valor del parámetro de la familia.
Ejemplo: hallar laecuación de la recta que pasa por el punto a (-3, 5) tal que la suma
algebraica de los segmentos que determinan sobre los ejes coordenados es=4.

Solución: al aplicar forma cinética.
X/a+y/b=1

x/k+y/4-k=1

donde ((k no es =4)

Como la recta pasa por el punto A (-3, 5)
-37k+5/4-k=-3(4-k)+5k/k (4-k)=1
-3(4-k)+5k= (1) (k(4-k))
2

-12+3y+5k=4k-k
2

2

-12+8k=4k-k

Ax+Bx+C=0Ecuación de 2° grado

2

K+8k-4k-12=0
2

K+4k-12=0

Al resolver la ecuación de 2° grado se obtiene el valor de k
2

X=-b+-raíz de b-4ac/2ª
2

X=-4raízde (4)-4(1)(-12)/2(1)
X=-4raíz de 16+48/2
X=-4 raíz de 64/2
X=-4+8/2=4/2=x=2

A=1
B=4
C=-12

2

X=-b+-raíz de b-4ac/2ª
2

X=-4-raíz de (4)-4(1)(-12)/2(1)
X=-4-raíz de 16+48/2
X=-4- raíz de 64/2
X=-4-8/2=-12/2=x=-6K1=2

k2=-6

k1+k2=-4

Si se substituyendo la ecuación original obtenemos la ecuación de la recta
Para k=2
x/k+y/4-k=1
x/2+y/4-2=1
x/2+y/2=1
x+y/2=1

para k=-6
x/k+y/4-k
x/-6+y/4-(-6)
x/-6+y/10=-10x+6y/-60=1
-10x+6y=-60

x+y=2
x+y-2=0

-10x+6y+60=0(-1)
10x-6y-60=0
5x-3y-30=0

Se determina que las 2 rectas que tienen la propiedad de pasar por el punto A (-3, 5) y
quesatisface la condición dada de que la suma algebraica de los segmentos L, K que
determinan los ejes coordenados es = -4

Determina la familia de las rectas cuando k=0, 1, 2, 3, 4, -1 y -2 de acuerdo al punto
A (-4, 3)
Y-y1=k(x-x1)
Y-3=0(x-(-4))
Y-3=0
y=3
Y-y1=k(x-x1)
Y-3=0(x-(-4))
Y-3=1(x+4)
Y-3=x+4
Y-3-x-4=0
x-y+7=0
y=x+7
Familia de rectas que pasan por la intersección de 2 rectas...