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Probabilidades y Estadística (Computación)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires
Ana M. Bianco y Elena J. Martínez

2004

Variables aleatorias continuas
Ejemplo: Con el fin de realizar un control de calidad en una fábrica de baterías, se mide el
tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se define la v.a.
X: tiempo de duración de una batería
La v.a.X es esencialmente continua (“tiempo”), siendo su rango el intervalo real [0,∞).
pero supongamos que medimos la duración de la batería en días, es decir “discretizamos”
el rango de la v.a. y se convierte en No = N ∪ {0}. Por tratarse de una v.a. discreta, su
función de probabilidad puntual puede representarse mediante un histograma con área
total igual a 1. Si medimos la duración en horas,obtenemos un histograma con mayor
número de intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo área total igual
a 1.
Si continuamos aumentando la precisión de la medición (minutos, segundos, décimas de
segundo, etc), obtenemos como límite de los histogramas una curva suave, y la
probabilidad de que la duración de la batería se encuentre entre dos valores a y b ( a < b)
estará dadapor el área bajo la curva entre a y b.

Definición: Una v.a. X es continua si existe una función

f : ℜ → ℜ + = [0, ∞)
llamada función de densidad de la v.a. X tal que

P( X ∈ A) = ∫ f ( x)dx

∀ A⊆ℜ

A

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En particular, siA = [a, b] , entonces
b

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a

y P ( X = a ) = P(a ≤ X ≤ a ) = 0 ∀a ∈ ℜ.
Propiedad: Para que una función f (x) sea una función de densidad, debe satisfacer

f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℜ
∞

∫ f ( x)dx = 1

−∞

Observación: Nota que f (x) no es una probabilidad, de hecho puede ser mayor que 1.
Es simplemente el valor de una función en un punto.
Ejemplo: Sea

 a x2f ( x) = 
0

si 1 ≤ x ≤ 3
en otro caso

Otra forma de expresar la densidad es f ( x) = a x 2 I [1,3] ( x) , donde la función I se define
como

si x ∈ A
si x ∉ A

1
I A ( x) = 
0
a) Calcular el valor de la constante a .
∞

3

3

x3
f ( x)dx = 1 ⇔ ∫ a x dx = 1 ⇔ a ∫ x dx = 1 ⇔ a
∫
3
1
1
−∞
2

3

=1⇔ a

2

1

26
3
=1⇔ a = .
3
26

b) Calcular P(X ≥ 2).∞

P ( X ≥ 2) = ∫
2

3

3 2
3 x3
f ( x)dx = ∫
x dx =
26
26 3
2

3

=
2

27 − 8 19
= .
26
26

Definición: La función de distribución acumulada de una v.a. continua X con función de
densidad f (x) se define para todo x ∈ ℜ , como

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x

F ( x) = P( X ≤ x) =

∫ f (t )dt

−∞

Ejemplo: En el ejemplo anterior, obtengamos la función de distribución acumulada de la
v.a. X.
x

Si x < 1 , F ( x) = P ( X ≤ x) =

∫

−∞

x

f (t )dt = ∫ 0 dt = 0

x

−∞

x

3 2
3 t3
t dt =
Si 1 ≤ x ≤ 3 , F ( x) = ∫ f (t )dt = ∫
26
26 3
1
−∞
x

Si x > 3, F ( x) =

3

3

∫ f (t )dt = ∫ 26t

−∞

2

x

=
1

x3 −1
26

dt =1

1

Resumiendo,

0
 x3 − 1
F ( x) = 
 26
1

si x < 1
si 1 ≤ x ≤ 3
si x > 3

Observamos que se trata de una función continua, no decreciente que toma valores entre
0 y 1.
Propiedades de la función de distribución acumulada: Sea X una v.a. continua,

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i) ∀x ∈ ℜ, FX ( x) ∈ [0,1] .
ii) FX (x) es monótona no decreciente, es decir que si x1 < x 2 ⇒ FX ( x1 ) ≤ FX ( x 2 ).
iii) FX (x) es continua en todo punto.
iv) lim FX ( x) = 1
x →∞

y

lim FX ( x) = 0

x →-∞

Observemos que las propiedades i), ii) y iv) ya las hemos demostrado en general al...