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Páginas: 6 (1385 palabras)
Publicado: 23 de julio de 2012
Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
TRANSFORMADA z Y DE FOURIER OBJETIVOS: Exponer los conceptos de funciones discretas en cuanto a la visión del proceso de tratamiento de señales que parte de una versión analógica, la que a través de la conversión analógica-a-digital, se convierte precisamente en una discreta. Repasar los fundamentos necesariospara operar con la transformación más popular que se aplica a las funciones discretas (transformada z). Esto es, sin detenerse puntualmente en las formalidades matemáticas, sino apuntando a las propiedades más significativas y a la mecánica de cálculo de esta transformada. Repasar los fundamentos necesarios para operar con la Transformada de Fourier, puntualizando propiedades y mecánicas de cálculoque permitan el uso eficiente de esta herramienta. Operar adecuadamente con otras variantes tales como las Series de Fourier, aplicadas a funciones periódicas, puntualizando su solución de tipo discreta en el dominio de frecuencia, en contraposición a la Transformada que devuelve una función continua en el dominio de la frecuencia.
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1 - FUNCIONES DISCRETAS Una función discreta,fn (o f[n]), es aquella que está representada por una secuencia definida para valores enteros del parámetro n. En otras palabras, representada dicha función en un sistema rectangular, sobre el eje de abscisas sólo habrá valores de ordenadas para puntos aislados. Para las ordenadas no rige esta restricción y los valores representados son continuos. En definitiva, fn designará una secuencia denúmeros reales o complejos definidos para todo entero n. La secuencia fn será denominada señal discreta y el índice n, tiempo discreto. Expresando gráficamente lo anterior (figura 1.1):
Dos funciones muy utilizadas y que constituyen un basamento hacia procesos más elaborados, son las llamadas Escalón y Delta.
Un if( n 0 , 1 , 0 ) δn if( n 0 , 1 , 0 )
secuencia Escalón secuencia Delta
1_________________________________________________________________________________ Transformada z y de Fourier
Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
Que se aprecian en las figuras 1.2 y 1.3.
Es conveniente aclarar que será común extender la notación a expresiones como la siguiente, que representa una secuencia Delta desplazada k unidades hacia laderecha. Analíticamente se ve en (1.1) donde se ha aplicado la notación típica de Mathcad en el segundo miembro, y gráficamente en la figura 1.4.
De aquí en adelante y a modo de generalización, n se considerará el tiempo discreto y k un parámetro constante. Esto está dando un pié a lo que vendrá: Las señales con las que se habrá de trabajar y procesar a través de computadoras digitales,provendrán de la conversión analógica-adigital de señales analógicas del mundo real. El "formato" de las mismas será precisamente el de una secuencia de tiempo discreto. Volviendo al tema, de (1.1) se puede avizorar una muy importante propiedad que es la siguiente:
- fn, una secuencia arbitraria, se puede representar como una suma de secuencias delta.
En otras palabras, es como si cada término de lasecuencia arbitraria "modulara" a una Delta con desplazamiento dado por el parámetro n correspondiente a dicho término. Expresado esto matemáticamente, lleva a la ecuación (1.2).
Ejemplo: Supóngase que se quiere aplicar lo expuesto a la siguiente secuencia (Figura 1.5).
_________________________________________________________________________________ Transformada z y de Fourier
2 Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
Aplicando (1.2) queda: fn 2. δn 1 3. δn δn 1
Lo expresado se resume gráficamente en la figura 1.6.
2 - TRANSFORMADA z La Transformada z se usa para llevar señales en el dominio del tiempo discreto al dominio de la frecuencia de variable compleja. Juega un rol similar al que la Transformada de Laplace lleva a...
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
TRANSFORMADA z Y DE FOURIER OBJETIVOS: Exponer los conceptos de funciones discretas en cuanto a la visión del proceso de tratamiento de señales que parte de una versión analógica, la que a través de la conversión analógica-a-digital, se convierte precisamente en una discreta. Repasar los fundamentos necesariospara operar con la transformación más popular que se aplica a las funciones discretas (transformada z). Esto es, sin detenerse puntualmente en las formalidades matemáticas, sino apuntando a las propiedades más significativas y a la mecánica de cálculo de esta transformada. Repasar los fundamentos necesarios para operar con la Transformada de Fourier, puntualizando propiedades y mecánicas de cálculoque permitan el uso eficiente de esta herramienta. Operar adecuadamente con otras variantes tales como las Series de Fourier, aplicadas a funciones periódicas, puntualizando su solución de tipo discreta en el dominio de frecuencia, en contraposición a la Transformada que devuelve una función continua en el dominio de la frecuencia.
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1 - FUNCIONES DISCRETAS Una función discreta,fn (o f[n]), es aquella que está representada por una secuencia definida para valores enteros del parámetro n. En otras palabras, representada dicha función en un sistema rectangular, sobre el eje de abscisas sólo habrá valores de ordenadas para puntos aislados. Para las ordenadas no rige esta restricción y los valores representados son continuos. En definitiva, fn designará una secuencia denúmeros reales o complejos definidos para todo entero n. La secuencia fn será denominada señal discreta y el índice n, tiempo discreto. Expresando gráficamente lo anterior (figura 1.1):
Dos funciones muy utilizadas y que constituyen un basamento hacia procesos más elaborados, son las llamadas Escalón y Delta.
Un if( n 0 , 1 , 0 ) δn if( n 0 , 1 , 0 )
secuencia Escalón secuencia Delta
1_________________________________________________________________________________ Transformada z y de Fourier
Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
Que se aprecian en las figuras 1.2 y 1.3.
Es conveniente aclarar que será común extender la notación a expresiones como la siguiente, que representa una secuencia Delta desplazada k unidades hacia laderecha. Analíticamente se ve en (1.1) donde se ha aplicado la notación típica de Mathcad en el segundo miembro, y gráficamente en la figura 1.4.
De aquí en adelante y a modo de generalización, n se considerará el tiempo discreto y k un parámetro constante. Esto está dando un pié a lo que vendrá: Las señales con las que se habrá de trabajar y procesar a través de computadoras digitales,provendrán de la conversión analógica-adigital de señales analógicas del mundo real. El "formato" de las mismas será precisamente el de una secuencia de tiempo discreto. Volviendo al tema, de (1.1) se puede avizorar una muy importante propiedad que es la siguiente:
- fn, una secuencia arbitraria, se puede representar como una suma de secuencias delta.
En otras palabras, es como si cada término de lasecuencia arbitraria "modulara" a una Delta con desplazamiento dado por el parámetro n correspondiente a dicho término. Expresado esto matemáticamente, lleva a la ecuación (1.2).
Ejemplo: Supóngase que se quiere aplicar lo expuesto a la siguiente secuencia (Figura 1.5).
_________________________________________________________________________________ Transformada z y de Fourier
2 Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
Aplicando (1.2) queda: fn 2. δn 1 3. δn δn 1
Lo expresado se resume gráficamente en la figura 1.6.
2 - TRANSFORMADA z La Transformada z se usa para llevar señales en el dominio del tiempo discreto al dominio de la frecuencia de variable compleja. Juega un rol similar al que la Transformada de Laplace lleva a...
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