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Círculo de Mohr

Capítulo 11

CAPÍTULO 11 CIRCULO DE MOHR
11.1 ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES

Notación: σ = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie. τ = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie. σ > 0 = Compresión; σ < 0 = Tracción. τzx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z es el plano X – Y). σz = Esfuerzo normal yen la dirección Z. Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las que se pueden escribir así: Figura 11.1 Esfuerzos en una masa de suelo

σ xx  τ yx  τ zx 

τ xy τ xz   σ yy τ yz  = σ = Tensor general de esfuerzos en R3 τ zy σ zz  

(11.1)

Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo en torno a un eje central paralelo al eje Z eigualando a 0 (cero), tenemos que τxy y τyx son los dos esfuerzos que pueden hacerlo.

[τ
entonces:

xy

* a 2 * a 2 − τ yx * a 2 * a 2 = 0
τxy = τyx
(11.2)

] [

]

Reduciendo el problema a dos dimensiones únicamente, (11.1) puede escribirse con sólo 3 componentes y no 4, según (11.2).

σ x τ xy  = σ = Tensor de esfuerzos en R2 (11.3) τ σy xy  
En el plano Z (o X,Y), sedibuja las 4 componentes del esfuerzo. En este caso σx, σy compresivos. τyx se ha hecho τxy. Entonces, de las 4 componentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la ecuación (11.3).

Figura 11.2 Esfuerzos en un plano

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La ecuación (11.3) y la ecuación (11.1) se pueden expresar, para los esfuerzos principales, en R2 y R3, así:

0 σ σ = 1   0σ2

y

σ 1 0 σ =  0 σ2  0 0 

0 0  σ3 

(11.4)

Los tensores expresados en (11.4) suponen una rotación del sistema, hasta que los cortantes se hagan nulos (τi j = 0), según lo visto en la Sección 10.6. 11.2 ESFUERZOS EN UN PLANO. El problema es que, conocido el tensor en R2, calcular σθ y τθ, siendo θ el ángulo del plano con el eje Y (o del esfuerzo normal al plano, con el eje X).NOTA: La matriz de cosenos directores en R2 es la del coseno del ángulo de (σθ, τθ) con (X, Y):

( θ cos90° −θ ) cosx' x cosx' y  cos Tθ =   = cos90° +θ ) cos θ   cosy' x cosy' y  (
Figura 11.3 Esfuerzos en un plano.

 cosθ Tθ =  − sen θ

sen θ  cosθ  

(11.5)

Para (11.9) Considerando el equilibrio estático, la ΣF = 0 ∴ AB PX = OB σX + OA τXY ; AB PY = OA σX + OB τXYPero OA = AB senθ OB = AB cosθ

(11.6) (11.7)

Llevo (11.7) a (11.6) y cancelo AB PX = TX cosθ + τXY senθ Pero a) σn = PX cosθ + PY senθ PY = σY cosθ + τXY senθ b) τn = PY cosθ - PX senθ (11.8) (11.9)

(11.8) en (11.9) ∴ tendiendo en cuenta (11.2) y aplicando la identidad de las fórmulas 11.17: σθ = σX cos2θ + 2τxy senθ cosθ + σY sen2θ que se transforma

σθ =

(σ

x

+σ y ) 2

+(σ

x

−σ y ) 2

cos 2θ + τ xy sen 2θ

(11.10)

τθ = τxy (cos2θ - sen2θ) – (σx – σy)senθ cosθ

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τ θ = τ xy cos 2θ −
tg 2θ =

(σ

x

−σ y ) 2

sen 2θ

(11.11)

además,

(σ

− 2τ xy
x

−σ y )

(11.12)

Por convención, los esfuerzos principales son σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. En R2 σ1 ≥ σ2.

σ1 = σ2 =

1 2 (σ x + σ y ) + 1 (σ x − σ y)2 + 4τ xy 2 2 1 2 (σ x + σ y ) − 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy 2 2

[

]

1

2

(11.13)

[

]

1

2

(11.14)

A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de σ1, σ2, entonces de (10) y (11), cuando τxy = 0:

σθ =

1 (σ 1 + σ 2 ) + 1 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ 2 2 1 (σ 1 − σ 2 ) sen 2θ 2

(11.15)

τθ = −

(11.16)

(11.10) – (11.11) –(11. 13) – (11.14)– (11.15) y (11.16) se denominan “ECUACIONES PARAMÉTRICAS” IDENTIDAD Cos2θ = cos2θ - sen2θ
1 2 (1 + cos 2θ )

sen2θ = 2senθ cosθ

cos 2 θ =

sen 2 θ =

1

2

(1 − cos 2θ )

(11.17)

11.2.1 El plano de máximo esfuerzo de cizalladura: Se encuentra con la ecuación (11.16); en ella τθ es máximo cuando sen 2θ = 1 ⇒ θ = 45°

τ max =

11.2.2 Esfuerzo hidrostático: Cuando σ1 = σ2...