Topologia

TOPOLOG´ IA
(La Topolog´ de segundo no es tan dif´ ıa ıcil)

´ ˜ Version revisada. Ano 2002

Estas notas son una versi´n ligeramente revisada del original fechado el 9 de septiembre o de 1999. Verdaderamente los unicos cambios son el formato de los dibujos, la supresi´n del ´ o prefacio (que claramente hab´ caducado) y la correcci´n de las pocas erratas detectadas. ıa o Aparte de ello, lasnotas han permanecido igual preserv´ndose incluso la paginaci´n. a o

´ Indice
1. Espacios M´tricos e Definici´n de espacio m´trico. (¿Cu´l es la diferencia entre cerca y lejos?) . . . . . . . . . . . . . 1 o e a Convergencia y continuidad. (Muy, muy cerca: Continuidad y convergencia.) . . . . . . . . . . 7 Conjuntos abiertos y continuidad. (Un mundo abierto hacia la continuidad.) . . . . . . .. . 12 2. Espacios Topol´gicos I (definici´n y construcciones) o o Definici´n de espacio topol´gico. (Por fin Topolog´ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 o o ıa. Construcciones. (M´s ejemplos, por favor.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 a 3. Espacios Topol´gicos II (conjuntos asociados, continuidad y propiedades). o Conjuntosasociados. (La frontera cierra el interior.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Funciones continuas y homeomorfismos. (Aplastar, estirar, encoger.). . . . . . . . . . . . . . .41 Propiedad de Hausdorff y axiomas de numerabilidad. (Hausdorff y cosas raras.) . . . 48 4. Conexi´n y Compacidad o Definici´n de conexi´n. (¿Qu´ es un conexo?) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 o o e Propiedades de los conjuntos conexos. (Un circo de conexos, aros en llamas y tartas.).58 Variantes de la conexi´n. (La familia de conexos se multiplica.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 o Definici´n y construcci´n de conjuntos compactos. (¿Qu´ es un compacto?) . . . . . . . 68 o o e Propiedades de los conjuntos compactos. (¡Qu´ buenos sonlos compactos!) . . . . . . . . . 74 e
una mujer.)

Conexi´n, compacidad y homeomorfismos. (Una recta no es redonda, un hombre no es o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. El Grupo Fundamental Definici´n de grupo fundamental. (Topolog´ y grupos: una combinaci´n explosiva.) . .83 o ıa o El grupo fundamental de la circunferencia. (La recta real se enrolla.) . . . . . . . . . . . . . . 91 Propiedades y ejemplos. (Pero, ¿hay m´s ejemplos?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 a Algunas aplicaciones. (Algunos teoremas bonitos.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

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U.A.M.

TOPOLOG´ IA

1. EspaciosM´tricos e
¿Cu´l es la diferencia entre cerca y lejos? a “Ahora estoy cerca”, “Ahora estoy lejos”. As´ nos lo explicaba Coco en Barrio S´samo ı e al tiempo que se situaba a menor o mayor distancia de la c´mara. Desde luego que a nosotros, para hacer Matem´ticas, tenemos que concretar nuestra intuici´n en n´meros, a o u letras y funciones, as´ que como primera aproximaci´n convendremos que ladistancia es ı o una funci´n que a cada par de objetos distintos (por ejemplo, la c´mara y Coco) le asigna o a un n´mero real positivo (su “separaci´n”). Sin embargo basta considerar unos ejemplos u o para concluir que esta funci´n no puede ser arbitraria. Por ejemplo, si pudi´ramos definir o e la distancia d(x, y) = |x − 2y| en el conjunto de n´meros reales, ocurrir´ cosas demasiado u ıan raras para quelas permitamos: La distancia entre 100 y 50 ser´ cero pero la de 50 a 100 ıa ser´ 150, es decir, 100 estar´ muy cerca, infinitamente cerca, de 50, pero 50 estar´ lejos ıa ıa ıa 2 de 100. Y si pudi´ramos tomar d(x, y) = (x − y) resulta que para ir de 0 a 2 tendr´ e ıamos que caminar 4 unidades pero si vamos de 0 a 1 y despu´s de 1 a 2 caminamos menos, ya que e d(0, 1) + d(1, 2) = 2 pero ¿c´mo...