Topología curso 2010/2011

Capítulo 1
Espacios métricos
1.1. Medir la proximidad
Sea X un conjunto. Denotaremos por X ×X al conjunto de los pares
de elementos de X.
Definición 1.1.1. Una distancia sobre X es una aplicación d : X×X →
R cumpliendo:
1. d(x, x) ≥ 0, ∀x, x ∈ X,
2. d(x, x) = d(x, x), ∀x, x ∈ X (Propiedad simétrica),
3. d(x, x) = 0 si y sólo si x = x, ∀x, x ∈ X,
4. d(x, x) ≤ d(x, x)+d(x,x), ∀x, x, x ∈ X (Propiedad triangular),
Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se sustituye
por
(3) d(x, x) = 0,
entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométrico.
Ejemplo 1.1.2. (Análisis I) Se toma X = R y se define d(x, x) = |x−x|.
Ejemplo 1.1.3. (Geometría) Se toma X = R2 y se define d((x, y), (x, y)) =
||(x, y) − (x, y)|| =

(x− x)2 + (y − y)2.
Definición 1.1.4. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobre
V es una aplicación || · || : V → R cumpliendo:
1. ||v|| ≥ 0, ∀v ∈ V ,
2
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 3
2. ||λv|| = |λ| · ||v||, ∀λ ∈ R, ∀v ∈ V ,
3. ||v|| = 0 si y sólo si v = 0, ∀v ∈ V ,
4. ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||, ∀v,w ∈ V .
Al par (V, || · ||) se le llama espacio normado.
Proposición 1.1.5.Si (V, || · ||) es un espacio normado, la aplicación
d : V × V → R dada por d(v,w) = ||v − w|| es una distancia sobre V .
A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio normado
(V, || · ||).
Demostración. Veremos a continuación que d cumple las condiciones que
hacen a una aplicación distancia:
1. d(v,w) = ||v − w|| ≥ 0 por la propiedad 1 de la norma.
2. d(v,w) = ||v − w|| =||(−1)(w − v)|| = | − 1| · ||w − v|| = ||w − v||,
donde se ha usado la propiedad 2 de la norma en la tercera igualdad.
3. Por definición, d(v,w) = 0 si y sólo si ||v−w|| = 0. Por la propiedad
3 de la norma, esto ocurre si y sólo si v − w = 0, es decir, v = w.
4. d(v, v) = ||v − v|| = ||v − v + v − v|| ≤ ||v − v|| + ||v − v|| =
d(v, v) + d(v, v), donde se ha usado la propiedad 4 de lanorma
para conseguir la desigualdad.
Veremos a continuación algunos ejemplos de espacios normados y sus
distancias asociadas.
Ejemplo 1.1.6. Si V = R y || · || =valor absoluto, entonces (V, || · ||) es
un espacio normado con distancia asociada d(x, x) = |x − x|.
Ejemplo 1.1.7. Si V = R2 y || · || es la habitual en Geometría, es decir,
la norma euclídea ||(x, y)|| =

x2 + y2, entonces(V, || · ||) es un espacio
normado. Su distancia asociada, que llamaremos distancia euclídea y
denotaremos de, es de((x, y), (x, y)) =

(x − x)2 + (y − y)2.
Ejemplo 1.1.8. Si V = R2, entonces ||(x, y)||taxi = |x| + |y| es una
norma. La cuarta propiedad de la definición de norma se demostraría
así: ||(x, y) + (x, y)||taxi = |x + x| + |y + y| ≤ |x| + |x| + |y| + |y| =
||(x,y)||taxi + ||(x, y)||taxi.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 4
A esta norma se le llama norma taxi y a su distancia asociada distancia
taxi: dtaxi((x, y), (x, y)) = |x − x| + |y − y|.
En el plano R2, las distancias entre los puntos (0, 0) y (1, 1) son
de((0, 0), (1, 1)) =
√
2 y dtaxi((0, 0), (1, 1)) = 2.
Figura 1.1:
Ejemplo 1.1.9. Si V = R2, ||(x, y)||max = m´ax{|x|, |y|} es una norma.Probaremos a continuación su cuarta propiedad:
Se cumple que |x + x| ≤ |x| + |x| ≤ m´ax{|x|, |y|}+m´ax{|x|, |y|} =
||(x, y)||max + ||(x, y)||max. Podemos hacer lo mismo con |y + y|, luego
tenemos que
||(x, y)+(x, y)||max = m´ax{|x+x|, |y+y|} ≤ ||(x, y)||max+||(x, y)||max.
Su distancia asociada es dmax((x, y), (x, y)) = m´ax{|x−x|, |y−y|},
que llamaremos distancia del máximo.Ejemplo 1.1.10. Si tomamos V = Rn, n ≥ 2, la norma euclídea es ahora
||(x1, . . . , xn)|| =
n
i=1 x2i
. Su distancia asociada, que también llamaremos
distancia euclídea, es de((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
n
i=1(xi − yi)2.
Análogamente, las normas taxi y máximo  para Rn son ||(x1, . . . , xn)||taxi = n
i=1
|xi| y ||(x1, . . . , xn)||m´ax = m´ax{|xi|; 1 ≤ i ≤ n}, siendo sus...