Torricelli Ranuras

Marzo 2004

Descripción de caudales por ranuras mediante la ley de Torricelli
Daniel Erraz
Departamento de Ingeniería Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile

___________________________________________________________________________________________________________ 1. ESTANQUE CON AGUJERO Consideremos un estanque con un nivel de líquido h , que descarga enforma natural por un orificio pequeño ubicado a una altura a de su base, tal como lo muestra la figura 1. 2. ESTANQUE CON RANURA

Consideremos ahora un estanque que descarga líquido por una ranura vertical, homogénea y delgada de altura b y ancho e , como lo muestra la figura 2 a la izquierda.

Fig 1. Estanque con descarga natural por orificio.

Fig 2. Estanque con descarga natural porranura.

Mediante una aplicación del teorema de Bernoulli [1], el caudal de descarga está dado por (1)

1

q = S 2 ∆p /ρ ,

Si en la ranura nos concentramos en un elemento diferencial de área dS = e dy (ver figura 2 a la derecha), una aplicación diferencial de (2) indica que el caudal que sale por él es (3)
dq = η (e dy ) 2 g ( h − y ) .

donde S es el área del agujero, ∆p es la diferenciano negativa de presión entre las caras de éste y ρ es la densidad del líquido. Dado que el estanque está abierto en su parte superior, la diferencia de presión es debida sólo al peso de la columna de líquido sobre el agujero, luego ∆p = ρ g ( h − a ) , así la expresión para el caudal es

Integrando esto último entre 0 y b , se obtiene el caudal de descarga por la ranura, cuando el nivel estásobre ella, como (4)
q ( h) = 2 η e 2 g [ h 3 / 2 − (h − b) 3 / 2 ], h ≥ b . 3

(2)

q ( h) = η S 2 g ( h − a ) , h ≥ a .

Acá η = φ ε es un factor de descarga, donde φ < 1 es un
coeficiente de fricción del líquido (para el agua φ = 0,97 ) y ε < 1 un coeficiente de contracción ( ε = 0,62 y ε = 0,97 para orificios con bordes agudos y redondeados respectivamente). La proporcionalidad del caudaldescrito con la raíz cuadrada del nivel sobre el agujero, suele denominarse ley de Torricelli2. _______________
1 Daniel Bernoulli (1700-1782), físico y matemático suizo, hijo del también célebre Johann Bernoulli. Hizo contribuciones en física, probabilidad, cálculo y ecuaciones diferenciales. En su famoso libro Hidrodinamica de 1738, trató la mecánica de fluidos y dio la primera formulación dela teoría cinética de los gases. Se le considera como el primer físico matemático propiamente tal. 2 Evangelista Torricelli (1608-1647), físico y matemático italiano, discípulo de Galileo, de quien fue secretario. Avanzó las primeras ideas correctas, que Galileo dejó escapar, sobre la presión atmosférica y la naturaleza de los vacíos, en 1643 inventó el barómetro. En 1644 publicó la ley acá citadaen De motu gravium, parte de su libro Opera geometrica, junto a estudios acerca del lanzamiento de proyectil.

Cuando el nivel está siempre en contacto con la ranura, o sea h ≤ b , pues por ejemplo la ranura tiene la altura del estanque, basta tomar b = h en (4), así simplemente (5)
q ( h) = 2 η e 2g h 3 / 2 , h ≤ b . 3

Nótese que (4) y (5) definen una función de caudal con hasta primeraderivada continua, con una inflexión en h = b .
3. ESTANQUES ACOPLADOS CON RANURA

A continuación, consideremos dos estanques acoplados por una pared en común, con una ranura vertical de la altura de los mismos, como los mostrados en la figura 3 a la izquierda. Considerando sin pérdida de generalidad el caso h1 ≥ h2 , es claro que el caudal q que se transfiere de un estanque a otro a través de laranura puede dividirse en dos: q1 que cae en forma expuesta por sobre el nivel h2 y q 2 que se transfiere bajo él.

Fig 3. Estanques acoplados por una pared común con ranura.

Considerando que el primero de ellos obedece la ley (5) al tomar h = h1 − h2 , se tiene
2 q1 ( h1 , h2 ) = η e 2 g ( h1 − h2 ) 3 / 2 . 3 Para obtener el caudal restante debe recurrirse nuevamente a la ecuación (1),...