Trabajo de historia

NOLAN JARA J. SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Cualquier rama de la Matemática y en general de la ciencia, se construye a partir de la siguiente estructura • Definiciones • Axiomas (Postulado, Ley, Propiedad) • Teoremas (Proposición, Lema, Corolario) Definición. Las Definiciones son enunciados que especifican de manera clara y precisa los conceptos con los cuales nos interesa empezar a trabajar.Axioma. Los Axiomas son enunciados que desde un inicio se aceptan como verdaderos aún cuando no se tiene una demostración para ello. Teorema. Los Teoremas son enunciados que tienen que deducirse lógicamente de las definiciones, de los axiomas o de otros teoremas. A este proceso se la llama demostración. Un teorema debe ser verdadero o falso, pero no ambos. Representación gráfica del conjunto de losnúmeros reales • Los números reales se representan en la recta numérica o recta de los números reales. • Un punto arbitrario llamado el origen, es definido por 0.

R
. . . -5 -4 -3 -2 -1 0
•

1

2

3

4

5...

A cada punto de la recta numérica le corresponde uno y solo un número real y viceversa, a esta correspondencia de uno a uno se lo conoce como biunívoca. Definición Axiomáticade los números reales El conjunto de los números reales R es un cuerpo ordenado y completo provisto de dos operaciones + (suma), .(Multiplicación) y una relación de orden < (menor que) tal que satisfacen los siguientes axiomas:

AXIOMAS DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
a, b, c  R A1.Clausura A2. Asociatividad A3. Conmutatividad A4. Elemento Neutro Adición ( a  b)  R a  (b  c)  (a  b) c ab  ba a  R 0  R / a  0  a a  R  ( a )  R / a   a   0 a  b  c   a  b  a  c Multiplicación ( a  b)  R a  (b  c)  (a  b)  c a b  b  a a  R 1 R / a 1  a 1  a  R (a 1  )  R a 1 / a  a 1  a.  1; a  0 a  a  b  .c  a  c  b  c

A5. Elemento Inverso

A6. Distributividad

FCE-UNAC

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NOLAN JARA J. Definición (Resta)Definición (División)

a  ab 1 ; b  0 b
Relación de Orden Definición. Si a y b son números reales, se dice que a es menor que b (b es mayor que a) si b – a es positivo. Esta relación de orden se denota por la desigualdad a < b. a < b (b > a) si b–a>o Axiomas de la Relación de orden: Axioma de tricotomía. Sean a y b números reales, entonces se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:ab Axioma de transitividad. Sean a, b y c números reales, Si a < b y b < c, entonces a < c Axioma de adición. Sean a, b y c números reales, Si a < b, entonces a + c < b + c, c  R Axioma de multiplicación. Sean a, b y c números reales, • Si a < b y c > 0, entonces ac < bc • Si a < b y c < 0, entonces ac > bc Propiedades similares se cumplen si cada signo de la desigualdad se invierte, o si < seremplaza con ≤ y > se remplaza con ≥. Clasificación de las desigualdades (según el signo de relación de orden) • Estrictas ad • No estrictas a≤b c≥d Consecuencias de los Axiomas del Conjunto de los Números Reales. Para todo a, b y c en R a + b = a + c entonces b = c ab = ac y a ≠ 0 entonces b = c Sea a ≠ 0. La ecuación ax = c tiene solución única,

x

c  a 1  c a
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FCE-UNACNOLAN JARA J.

Sea a ≠ 0. La ecuación a ax + b = c tiene solución única, a saber:

x 

c b a

Principales Teoremas Sean a,b,c y d números reales , se tiene que: 1) a . 0 = 0 3) a (-b ) = -a b = (-a ) b 5) – a – b = - ( a + b ) 7) a + c = b + c => a = b 9) (ab) 1  b 1a 1 ; ab  0 11)
a c ad  bc   ; bd  0 b d bd

13) ab = 0  a = 0  b  0 15) a² = b²  a = b  a  b 17)  a  b  a 2  2ab  b2
2

2) – a = (-1) a 4) a  R : - (-a ) = a 6) ( - a ) . ( - b ) = a . b 8) ac = bc , c  0 => a = b 10) (a 1 ) 1  a; a  0 a ad 12) b  ; bcd  0 c bc d 14) (a +b )( a-b ) = a² - b²

a 16)   b
18)

1



b ; ab  0 a

a2  0  a  0

2 19) si b>0  a  b  a 

b a   b

Intervalos Definición. Un intervalo es un subconjunto de los números...