Trabajo Pr ctico de Matem tica

Trabajo Práctico de Matemática

Alumno: Vetrano Ignacio



Asignatura: Matemática



Curso: 5to Año



Colegio: María Auxiliadora










Función Exponencial
Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x2   y   g(x) = 2x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadráticaque fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.
El dominio  es el conjunto de todos los números reales yel recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.


1) f(x) = 2x

La función exponencial de base e
Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = ex  define a la función exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienenuna tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.
La función  f(x) = ex  es una  función exponencial natural.  Como 2 f(x) = ex  está entre f(x) = 2x  y  f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x  es:Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3)  El eje de x es la asíntota horizontal.
4)  Si  b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5)  Si  0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6)  La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funcionesexponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:
1) Leyes de los exponentes:
   

2)  ax = ay  si y sólo si  x = y
3)  Para x diferente de cero, entonces ax = bx  si y sólo si  a = b.
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada(multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)




Propiedades:
a) a 0 = 1
b) a 1 = a
c) La función exponencial es siempre positiva.
d) La función exponencial es siempre estrictamente creciente o decreciente, según el valor de a.
• Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente.
• Si a > 1 la función es estrictamente creciente.
e) Si 0 < a < 1:
• l´ım x→−∞ a x =+∞
• l´ım x→+∞ a x = 0
f) Si a > 1:
• l´ım x→−∞ a x = 0
• l´ım x→+∞ a x = +∞
De estos dos últimos apartados se deduce que la función exponencial no está acotada superiormente pero si inferiormente por 0. g) La función exponencial es continua en todo R.
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Esdecir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuacióndiferencial .
Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

La función exponencial sirve para describir cualquier
proceso que evolucione de modo que el aumento (o
disminución) en un pequeño...

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