Trabajo

Elipsoide,

Ecuación cartesiana de un elipsoideLa ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:


donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; silos tres son iguales, se trata de una esfera.

superficie
La superficie de un elipsoide tiene la siguiente ecuación:

donde:

es la excentricidad angular,

son integrales elípticas de primer y segundo orden.
Una ecuación aproximada de su superficie es:

Donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c

volumen
Elvolumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

cilindro parabolico

Cilindro parabólicoLa ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice (0,0,z) a lo largo del eje z es:
y=x^2
Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice (0,0) en \mathbb{R}^2. Colocando parábolas con ese vértice a lo largo del eje z construimos el cilindro parabólico.
La representaciónque vemos a la derecha corresponde al cilindro parabólico de vértice (0,0,z) a lo largo del eje z (con z entre -2 y 2). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:
ContourPlot3D[y-x^2,{x,-2,2},{y,0,2}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{"Eje X","Eje Y","Eje Z"},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro parabólico con vértice(x_0,y_0,z) restamos cada una de las coordenadas del centro a x y a y respectivamente. La ecuación queda así:
y-y_0=(x-x_0)^2

Como que en el caso anterior, si queremos representar el cilindro parabólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje. En este caso hay varias posibilidades que depende de la variable que lleve el cuadrado:
Cilindro parabólicocentrado en (x,0,0) y de radio r a lo largo del eje X: y-z^2=0 ó z-y^2=0Cilindro hiperbólico centrado en (0,y,0) y de radio r a lo largo del eje Y: x-z^2=0 ó z-x^2=0
Por ejemplo, este último cilindro tendría la siguiente representación:

Si en todas las ecuaciones anteriores ponemos un más en vez de un menos también obtenemos cilindros parabólicos ya que, como hemos dicho antes, un cilindroparabólico se forma colocando parábolas iguales unas encima de otras a lo largo del eje que queda libre. Por ejemplo, tomando la parábola y=-x^2 obtenemos también un cilindro parabólico
paraboloide eliptico,

La ecuación implícita del paraboloide de sección circular de vértice (0,0,0) a lo largo del eje z es:
x^2+y^2-z=0
La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide. EnMathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:
ContourPlot3D[x^2+y^2-z,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,0,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{"Eje X","Eje Y","Eje Z"},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]
Como se deduce a partir de la ecuación para representar un paraboloide de sección circular a lo largo del eje z tomamos la ecuación de un cilindro con radio variable igual a\sqrt{z} (en vez de radio r fijo). Para que el paraboloide tenga sección elíptica tomamos la ecuación de un cilindro elíptico, es decir:
\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z}{c}=0

En este caso, a y b son los semiejes de la sección elíptica del paraboloide y c hace que el paraboloide sea más ancho o más estrecho.
Para representar el paraboloide elíptico con vértice (x_0,y_0,z_0) restamos cadauna de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)=0
Si queremos representar el paraboloide a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los cuadrados. En la ecuación deben aparecer dos términos al cuadrado y uno elevado a uno y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que no está elevada al cuadrado es la que nos dice...