Transferencia de calor

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CONDUCCION BIDIMENSIONAL BAJO CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

ANALISIS:

A fin de apreciar como se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1≠T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación

θ≡(T- T1)/( T1- T2)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (δ2T/δx2)+ (δ2T/δy2)=0, la ecuación diferencial transformada es:

(δ2θ/δx2)+ (δ2θ/δy2)=0

Y
T2, θ=0

W

T1, θ=0T1, θ=0

0
X
0. T1, θ=0

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son

θ(0,Y) = 0 y θ(X,0) = 0

θ(L,Y) = 0 y θ(X,W) = 0

Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de lascuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de θ esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma

θ(X,Y) =X(x)*Y(y)

Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos

-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)

Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante deseparación -hasta ahora desconocida- como λ2, tenemos

d2X/dx2 + λ2X = 0

d2Y/dy2 + λ2Y = 0

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de λ2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de λ2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución quesatisfaga las condiciones de frontera que se establecen.
Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,

X = C1cosλx + C2senλx

Y = C3e-λy + C4e-λy

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es

θ = (C1cosλx + C2senλx)( C3e-λy + C4e-λy)

Al aplicar la condición que θ (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. además el requerimiento que θ (x,0) = 0, obtenemosC2senλx(C3 +C4) = 0

Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento θ(L,Y) = 0, obtenemos

C2 C4 senλL(eλy -e-λy) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que λ tome valores discretospara los que senλL = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma

λ = (nЛ/L) n = 1,2,3,…

donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

θ = C2 C4 sen (nЛx/L) (enЛy/L -e nЛy/L)

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos

θ(x,y) = Cnsen(nЛx/L)senh(nЛy/L)

donde tambiénhemos utilizado el hecho de que (enЛy/L -e nЛy/L) = 2 senh(nЛy/L). En la forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el problema es lineal, se obtiene una solución más general a partir de una superposición de la forma

θ(x,y) = Σn Cnsen(nЛx/L)senh(nЛy/L)

Para determinar Cn...
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