transformacion lineal

N´cleo e Imagen de una Transformaci´n Lineal
u
o
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
15 de mayo de 2009

´
Indice
22.1. N´cleo de una transformaci´n lineal . . . . .
u
o
22.2. El n´cleo de una matriz y la tecnolog´ . . .
u
ıa
22.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . .
22.4. El Rango de una transformaci´n . . . . . . .
o
22.5. Suprayectividad de transformacioneslineales
22.6. N´cleo e Imagen son subespacios . . . . . . .
u
22.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´n . . .
o

22.1.

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1
6
6
7
10
11
11N´ cleo de una transformaci´n lineal
u
o

Definici´n 22.1
o
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. El n´cleo T es el subconjunto formado por todos los
o
u
vectores en V que se mapean a cero en W .
Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W }

Ejemplo 22.1
Indique cu´les opciones contienen un vector en el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
a
u
o
  

x
−2 x + 3 z
T y  =  −23 x − 15 y − 18 z 
z
−5 x − 3 y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

v1
v2
v3
v4
v5
v6

= (0, 0, 0)′
= (12, −28, 8)′
= (1, −2, 1)′
= (3, −7, 2)′
= (2, −4, −4)′
= (9, −18, −15)′

Soluci´n
o
Antes de pasar a la verificaci´n, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que
o
T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x esequivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.
Empecemos con la dimensi´n de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el n´mero
o
u

de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el n´mero de
u
renglones de A es 3. Si requerimos que

 
 
−2 x + 3 z
x
 −23 x − 15 y − 18 z  = 
 y 
−5 x −3 y − 3 z
z
No es dif´ ver
ıcil



 
 
0
3
−2
x
−2 x + 3 z
 −23 x − 15 y − 18 z  =  −23 −15 −18   y 
z
−5 x − 3 y − 3 z
−5 −3 −3

es decir que

−2
0
3
A =  −23 −15 −18 
−5 −3 −3


El vector v1 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u
    

0
0
−2
0
3
T (v1 ) = Av1 =  −23 −15 −18  ·  0  =  0  = 0
0
−5 −3 −3
0
El vector v2 est´ enel n´cleo de T debido a que
a
u
  
 

0
12
−2
0
3
 −23 −15 −18  ·  −28  =  0  = 0
T (v2 ) = Av2 =
0
8
−5 −3 −3
El vector v3 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
1
1
T (v3 ) = Av3 =  −23 −15 −18  ·  −2  =  −11  = 0
−5 −3 −3
1
−2
El vector v4 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u
  
 

0
3
−2
0
3
 −23 −15−18  ·  −7  =  0  = 0
T (v4 ) = Av4 =
0
2
−5 −3 −3
El vector v5 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
2
−16
T (v5 ) = Av5 =  −23 −15 −18  ·  −4  =  86  = 0
−5 −3 −3
−4
14
El vector v6 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 

 
−63
9
−2
0
3
T (v6 ) = Av6 =  −23 −15 −18  ·  −18  =  −333  = 0
−54
−15
−5 −3 −32

Ejemplo 22.2
Determine el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
u
o
  

x
−2 x + 3 z
T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z 
z
−5 x − 3 y − 3 z
Soluci´n
o
Un vector v = (a, b, c)′ pertenece al n´cleo de T si T (v) = 0, es decir si:
u


−2 a + 3 c
T ((a, b, c)′ ) =  −23 a − 15 b − 18 c  = 0( en R3 )
−5 a − 3 b − 3 c
Por lo tanto, para pertenecer al...