Transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.



En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y engeometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio ycondominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

T(u+v)=t(u)+t(v)

T(ku)=Kt (u) donde k es un escalar.

Transformación linealidentidad



[pic][pic]

Homotecias



[pic]con [pic]



Si k > 1 se denominan dilataciones

Si k < 1 se denominan contracciones

Tipos:

• Homomorfismo: Sea f:A→B ; si cumple f(λu+μv)=λf(u)+μf(v) para todo u, v pertenecientes a A, entonces f:A→B es una Aplicación Lineal, por tanto Homomorfismo.

• Monomorfismo: f:U→V ; la aplicación es inyectiva si el núcleo de f(Ker(f)) es trivial.

• Epimorfismo: f(B)={f(e1), f(e2),...,f(en)}, sistema generador de f, es epimorfismo si la aplicación es Sobreyectiva.

• Isomorfismo: f(B)= Base de V, función biyectiva. Es isomorfismo si la aplicación es un monomorfismo y epimorfismo.



EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN).

(Rotación por un ángulo[pic] )[pic]
Sea [pic][pic]
  un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de [pic]
  en  [pic] que gira cada vector  [pic] un ángulo [pic], para obtener un vector [pic].. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

[pic]
[pic][pic]

Distribuyendo y usando el hecho de que  [pic][pic]
 y  [pic][pic]          tenemos que:

[pic]
[pic]

[pic][pic]

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación [pic]
[pic]
 tal que  [pic][pic].

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo [pic][pic]
 y es lineal, ya que:

[pic][pic]

[pic][pic]
[pic]

[pic]
[pic]Ejemplo:

Determinar la matriz de reflexión F que mapea cada punto (x, y) del planoa su imagen de espejo respecto a la línea y = √3x. Determinar la imagen del punto P = (√3, 1).

Una rotación de 30◦ mapea la línea y = √3x sobre el eje y. Tal rotación se representa por la matriz:







cuya inversa es:

[pic]

La matriz reflexión del plano respecto el eje y es[pic]

Por lo tanto

[pic][pic]



esto es:

[pic]

La imagen de P bajo F es:

[pic].DEFINICIÓN DE NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.



Sean [pic]y [pic]espacios vectoriales sobre [pic](donde [pic]representa el cuerpo) se satisface que: Si [pic]es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

[pic]

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienenpor imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

[pic]dado que [pic]

Dados [pic]

Dados [pic]

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. [pic]

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.La...