transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES
Las transformaciones lineales son funciones de variable vectorial que asocia un vector W con otro vector V, se dice que F aplica o mapea V.
F: V  W
Una transformaciónde T de R^n en R^m se denota T: R^n  R^m y es una regla que asigna a cada vector U en R^n un vector único V en R^m.

Se dice que es una transformación lineal si cumple las siguientes propiedades:1- T(u+v)= T (u)+ T(v) para todos los vectores u y v en V
La transformación de la suma de los 2 vectores del espacio U, es igual a la transformación del vector u, más la transformación de v.

2- T(Cu)= C T(u) para todos los vectores u en V y todos los escalares C.
Si multiplicamos al vector u por un escalar y luego lo transformamos, es igual a primero transformar el vector u y luegomultiplicarlo por el escalar.

DEMOSTRACION:
Sea T: R^2  R^2 definida por:
















PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:
NUCLEO Y RECORRIDO

En particular, se demuestraque una vez que se conocen las imágenes de los vectores base bajo una transformación lineal, es posible encontrar las imágenes de los vectores restantes en el espacio.
NUCLEO: también conocido comoKernel todo conjunto de vectores que al transformarlos den cero.
Se denota por:
N(T)= { v€V|T(v)=0w
El Núcleo es igual a todos los vectores que pertenecen a V tal que T evaluado en v es igual alvector cero de W.






RECORRIDO: también conocido como rango o imagen, es todo el conjunto de vectores que puede obtenerse al transformar los elementos originales.
Se denota por:
T(s)= {w€W|w=T(v) para algún v€S
Está constituida por todos los vectores de w a W tal que el transformado de v es igual a w para algún vector de v en V






La imagen de T es igual a w cuando y solo cuandoT es sobreyectiva, es decir, todos los elementos que constituyen el conjunto de llegada son imagen de algún vector v en el conjunto de dominio.


TEOREMA DE LA DIMENSION
Si T: VW es una...