Transformaciones Lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

° 1. Introducción

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, defunciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir con la operación y la acción) de estosespacios.

En los cursos básicos relativos a ecuaciones vimos que la solución a la ecuación f(x)=0 podría entenderse como los puntos donde la grafica de la función f(x) corta el eje de las x’s:Esta forma de ver a una ecuación permite entonces resolver ecuaciones de la forma: f(x)= a. En este caso lo que se busca son los valores de aquellos puntosdonde la grafica de la función f(x) corta la línea horizontal y=a:
Esta idea de corte de la grafica f(x) con la recta y=a da pie a métodos de solución de ecuaciones y también permite obtenerconclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce fácilmente que sean 3sen(20x)cos(x)=1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3sen(20x)cos(x)=3.5 no tiene solución:
En el caso anterior3sen(20x)cos(x)=1 tiene solución debido a que 1 esta en rango de la función, mientras que 3sen(20x)cos(x)=3.5 no tiene solución porque no lo está. EL rango de la función esta marcado en el eje y comoun segmento de línea magenta.

° 2. Transformaciones lineales

° Definición: Sean (V;+V ; ¢V ) y (W;+W ; ¢W ) dos K-espacios vectoriales. Una función
f : V W se llama una transformaciónlineal (homomorfismo, o simplemente morfísmo) de V en W si cumple:

*Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T : V → Wtal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

T(u + v) = T(u) + T(v)

T(c u) = c T(u)

° Ejemplos:

° Ejemplo:

Demuestre que la transformación T: R3 R2 es...