Transformaciones Lineales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LAREDO

ALGEBRA LINEAL

V UNIDAD.- TRANSFORMACIONES LINEALES

INGENIERIA INDUSTRIAL

TERCER SEMESTRE


TEMAS:

* Introducción a las transformaciones lineales
* Núcleo e imagen de una transformación lineal
* La matriz de una transformación lineal.
* Aplicación de las transformaciones lineales:Reflexión, dilatación, contracción y rotación.

TRANSFORMACIONES LINEALES

INTRODUCCION

Los vectores y las matrices se relacionan en forma íntima a través de la multiplicación matricial. Para una matriz fija A de m x n, cualquier vector n x corresponde al vector m Ax. Esta correspondencia definida por el producto matricial Ax es el principal ejemplo de una transformación lineal, cuya definiciónactual se debe a Peano. Las transformaciones lineales desempeñan un papel importante en matemáticas, física, ingeniería procesamiento de imágenes, gráficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y de la vida diaria. Veamos este pequeño ejemplo.

Transformación lineal de una imagen.
Un caricaturista moderno emplea computadoras y álgebra lineal para transformar las imágenes que dibuja.Supongamos que trata de dar la sensación de movimiento a la imagen de arriba, inclinándola y estirándola (horizontalmente) en forma gradual para llegar a la figura de al lado. Si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo a lo largo del eje x es 50% , ¿Cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen inclinada? El método debería ser independiente de la imageninicial para poder aplicarlo a otros cuadros, mas adelante mencionaremos la sencilla respuesta que es la multiplicación de matriz por vector. De hecho necesitamos multiplicar la izquierda del vector coordenado de cualquier punto en el plano que deseemos transformar, por la matriz.

Como un vector de producción se transforma en un vector de materia prima. Un fabricante produce 4 artículosdiferentes, cada uno de los cuales requiere para su elaboración de tres materia primas. Los cuatro productos se denotan por P1, P2, P3 y P4, y las tres materias primas se denotan por R1, R2 y R3. A continuación se indica el número de unidades que se requiere de cada materia prima para elaborar una unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se producen ciertas cantidades de los cuatroproductos, ¿Cuántas unidades se requieresn de cada materia prima? Supóngase que P1, P2, P3 y P4 denotan las cantidades elaboradas de cada uno de los 4 productos que R1, R2 y R3 denotan el numero de unidades requeridas de cada materia prima. Entonces se define:

Supóngase, por ejemplo, que p=

¿Cuántas unidades de R1 se necesitan a fin de producir estos números de unidadesde los cuatro productos? De la tabla se ve que:
R1 = p1(2) + p2(1) + p3(3) + p4(4)
= 10(2) + 30(1) + 20(3) + 50(4) = 310 unidades.

En forma similar,
R2= 10(4) + 30(2) + 20(2) + 50(1) = 190 unidades.
R3= 10(3) + 30(3) + 20(1) + 50(2) = 240 unidades.

En general se ve que

O en forma mas compacta, r=Ap
Dicho de otro modo, si a p se le llama vector de producción y a r vector demateria prima, la función T puede definirse mediante r=Tp = Ap. Es decir, T es la función que transforma el vector de producción en el vector de materia prima. Se define mediante la multiplicación matricial ordinaria. Como se vería esta función también es una transformación lineal.

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL (KERMEL)

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K yT una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda...