Transformaciones lineales

Construcci´n de bases del n´ cleo y de la imagen o u de una transformaci´n lineal o
1. Objetivo. Estudiar el algoritmo para construir una base del n´cleo y una base de la u imagen de una transformaci´n lineal. o 2. Requisitos: definici´n del n´cleo y de la imagen y sus propiedades b´sicas, eliminaci´n o u a o de Gauss. 3. Ejercicio. Sea T ∈ L(V, W ) una transformaci´n lineal inyectiva y sean v1 ,. . . , vk o vectores de V tales que el sistema (v1 , . . . , vk ) es linealmente independiente. Demuestre que el sistema (T v1 , . . . , T vk ) es linealmente independiente. 4. Proposici´n (sobre el generador de la imagen). Sea T ∈ L(V, W ), donde V es o de dimensi´n finita. Sea (e1 , . . . , en ) una base de V (o, m´s general, un generador de V ). o a Entonces im(T ) = lin(T (e1 ), . . . , T (en)). Demostraci´n. La parte ⊇ es v´lida para cualquier sistema (e1 , . . . , en ). Por la definici´n o a o de im tenemos que T (ek ) ∈ im(T ) para todo k ∈ {1, . . . , n}. Luego recordamos que im(T ) es un subespacio vectorial de V . Por lo tanto, todas combinaciones lineales de los vectores T (ek ) est´n en im(T ). a Para demostrar la contenci´n ⊆, vamos a usar la hip´tesis que los vectores e1 , .. . , en o o generan V . Sea w ∈ im(T ). Entonces w = T (v) para alg´n v ∈ V . Como e1 , . . . , en u generan V , existen escalares λ1 , . . . , λn ∈ F tales que
n

v=
k=1

αk ek .

Aplicando T a ambos lados de esta igualdad obtenemos que
n

w = T (v) =
k=1

αk T (ek ) ∈ lin(e1 , . . . , en ).

5. Corolario (construcci´n de una base de la imagen). Sea T ∈ L(V, W ), donde V o es dedimensi´n finita. Sea (e1 , . . . , en ) una base de V (o, m´s general, un generador de o a V ). Entonces: 1. Cualquier subsistema b´sico del sistema (T (e1 ), . . . , T (en )) es una base de im(T ). a 2. dim(im(T )) = r(T (e1 ), . . . , T (en )). 3. dim(im(T )) ≤ dim(V ). p´gina 1 de 3 a

6. Definici´n (rango de una transformaci´n lineal). Sean V y W espacios vectoriales o o sobre un campo ysea T ∈ L(V, W ). Entonces el rango de T se define como la dimensi´n o de la imagen de T : r(T ) := dim(im(T )). 7. Imagen en t´rminos matriciales. Sea T ∈ L(V, W ), sea E una base de V y sea F una e base de W . Supongamos que las columnas con ´ ındices j1 , . . . , jr forman un subsistema b´sia co del sistema de las columnas de la matriz TF,E . Entonces los vectores T (ej1 ), . . . , T (ejr ) formanuna base en im(T ). En particular, r(T ) = r(TF,E ). 8. N´ cleo en t´rminos matriciales. Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones u e finitas y sea T ∈ L(V, W ). Sean E una base de V , F una base de W . Denotemos a la matriz TF,E por A. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales homog´neas e Ax = 0. y denotemos por (u1 , . . . , us ) a una base del espacio de sus soluciones. Entonces losvectores de V que tienen vectores de coordenadas u1 , . . . , us forman una base de ker(T ). 9. Ejemplo (construcci´n de bases del n´ cleo y de la imagen). Dada la matriz de o u transformaci´n lineal T : V → W en bases F = (f1 , f2 , f3 ) y E = (e1 , e2 , e3 , e4 ), construir o bases de su n´cleo e imagen. Hacer las comprobaciones. u   2 −3 1 2 TF,E =  −1 10 0 −5  . 3 4 2 −1 Soluci´n. Primerotransformemos la matriz dada TF,E en una matriz pseudoescalonada o reducida usando operaciones elementales por filas:      R3 −= R2  2 −3 1 2 2 −3 1 2 0 17 1 −8 R1 += 2R2 R ∗= −1 R −= 2R1  −1 10 0 −5  −3− − →  −1 10 0 −5  − − − →  1 −10 0 5 . −−− −2 − − 0 0 0 0 3 4 2 −1 −1 10 0 −5 Los elementos pivotes est´n en las columnas 1 y 3. Por lo tanto, las columnas 1 y 3 forman a un subsistemab´sico de la matriz TF,E . Por consequencia, los vectores a T (e1 ) = 2e1 − e2 + 3e3 , T (e3 ) = e1 + 2e3

forman un subsistema b´sico del sistema (T (e1 ), T (e2 ), T (e3 ), T (e4 )) y una base del espacio a im(T ) generado por T (e1 ), T (e2 ), T (e3 ), T (e4 ). Para construir una base del n´cleo, consideremos el sistema de ecuaciones lineales u homog´neas TF,E x = 0. Usando la forma...