transformaciones lineales

1. INTRODUCCIÓN

Durante el aprendizaje escolar suele ocurrir que los estudiantes se apropian de los conceptos de manera aislada y no de manera estructurada. Esto hace que tengan dificultades cuando abordan situaciones completamente nuevas cuya resolución no se puede realizar sólo recordando algún procedimiento enseñado por el profesor.

Poseer una estructura conceptual da lugar a que elestudiante no sólo trabaje con los conceptos como objetos aislados y aplique procedimientos, sino también a que reflexione de manera general sobre ellos, que los vea como elementos de un todo coherente y establezca conexiones. En este trabajo, nuestro enfoque se centrará en esta forma integradora de pensar, la cual está relacionada con el pensamiento teórico (Sierpinska, 2000) y en particular con elpensamiento sistémico.

Un pensamiento sistémico implica pensar sobre sistemas de conceptos, donde el significado de un concepto está basado en sus relaciones con otros, no con cosas o eventos (Sierpinska et al., 2002); de acuerdo con los investigadores, se divide en definicional, demostrativo e hipotético. Consideramos que la presencia de un pensamiento sistémico en la adquisición de conceptosdesempeña un papel importante en la didáctica de las matemáticas.

Algunos errores de los alumnos cuando resuelven un problema podrían explicarse mediante la falta de conexiones que deberían hacer entre los conceptos que forman un sistema. La detección de tal fenómeno por profesores e investigadores podría llevarlos a enfocarse en las conexiones que deberían desarrollarse en los estudiantes parauna comprensión adecuada de los conceptos de matemáticas.

Para este trabajo elegimos el tema de transformación lineal, que concierne al álgebra lineal, por ser un tópico central relacionado con conceptos como espacio vectorial, combinación lineal, base, valores y vectores propios, entre otros. Además, las transformaciones lineales juegan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas,así como en numerosos problemas aplicados en las ciencias físicas, económicas y sociales.

El problema central que seleccionamos para llevar a cabo nuestra experimentación fue tomado de los trabajos de Sierpinska y sus colaboradores (Sierpinska et al., 1999; Sierpinska, 2000; Trgalová & Hillel, 1998). Se le denomina como problema de extensión lineal, y consiste en determinar una transformaciónlineal por medio de las imágenes de los vectores de una base; para resolverlo, se hace uso de herramientas del software Cabri–Géomètre II. El problema de extensión lineal nos permite explorar los vínculos que hacen los estudiantes entre diferentes conceptos de álgebra lineal, así como observar las estrategias que usan cuando están trabajando ante una situación no familiar.



2. ANTECEDENTES2.1. La investigación en la enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal llevada a cabo por Sierpinska y colaboradores.

Un grupo de investigadores, bajo la dirección de Sierpinska, en su afán por explicar ciertos aspectos que afectan el razonamiento de los estudiantes en el álgebra lineal, inició una investigación cuyo objetivo era detectar las dificultades de los estudiantes sobre las nocionesde esta rama de las matemáticas.

De 1993 a 1996, la investigación se enfocó en los modelos de estructura general del comportamiento matemático de los estudiantes, al interactuar individualmente con tutores y textos de álgebra lineal. En el período 1996–1999, se centró en el diseño de una introducción al álgebra lineal, que estuvo basado en un modelo geométrico de espacio vectorialbidimensional. El principal problema que se intentó resolver con tal diseño fue disminuir en los estudiantes el desarrollo del obstáculo de formalismo (cuando el estudiante manipula las representaciones formales simbólicas, pero no tiene las suficientes aptitudes para comprenderlas).

Como parte de su justificación por su inclinación a la geometría, algunos aspectos que los investigadores señalan es que...