Transformación de esfuerzos

Mecánica de Materiales

Transformación de Esfuerzos
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Profesor: Juan F. Correal Daza, Ph.D., P.E.
Ph.D.,

Concepto de esfuerzo en el plano
Viga de Concreto sin Refuerzo
Longitudinal
g

Viga de Concreto con Refuerzo
Longitudinal y sin Refuerzo Transversal

Concepto de esfuerzo en el plano
σZ
τZY

τZX
τXZ

τYZ

σY
σY

τXY τYXσX
Estado General de
Esfuerzos

τXY τYX

σX

σY

Esfuerzo Plano

τXY
σX

Esfuerzo Plano (vista en 2D)

Concepto de esfuerzo en el plano
Y

σY
τXY
θ

σX
θ
X

Y

Y´

Y

X´
θ
X

X

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
Convención de signos positivos
Y

+σY
+τXY

Y

Y´

Y

X´
θ
X

+σX

X
Esfuerzo normal + actúahacia
Ef
l
ú h i
afuera sobre todas las caras.
Esfuerzo cortante + actúa hacia
arriba sobre la cara derecha del
elemento.

X
Angulo θ + se mide desde el
eje x positivo en dirección
contraria a las manecillas del
reloj (regla de mano derecha).

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
σY

Y

Y´

τXY
θ

Y
X´

σX

θ
∆ A cos θ

θ
∆A
∆ A sen θ

XX

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
Y´

Y´

Y

τx’y’∆ A

X´
θ

θ

∆A

∆ A cos θ

∆ A sen θ
+

ΣFX’=0:

+

ΣFy’=0:

σY’ =

X

σx ∆A cos θ

θ

X´
σx’∆ A
θ
X

θ

τxy ∆A cos θ
θ

θ τxy ∆A sen θ
σy∆A sen θ

σX+σY
σ -σ
cos2θ
sen2θ
+ X Y cos2θ + τxysen2θ …(1)
2
2
σ -σ
…(2)
sen2θ
cos2θ
τX’Y’= − X Y sen2θ + τxycos2θ2
σX’ =

σX+σY
σ -σ
cos2θ
sen2θ
− X Y cos2θ − τxysen2θ
2
2

reemplazando θ = θ+90 en (1)

Esfuerzo plano- Ejemplo
planoLos esfuerzos en un punto B de una viga de acero son mostrados en la
figura. Determine el esfuerzo en dicho punto a un ángulo orientado a 41°
fi
D
i
l f
di h
á l
i
d 41°
con respecto a la horizontal y medido en contra de las manecillas del
reloj. Muestreel estado de esfuerzos planos en un diagrama.
j
p
g

Elevación

Sección

Esfuerzo plano- Ejemplo
plano-

Esfuerzo plano- Ejemplo
planoUna placa rectangular de 3.0 pulg. x 5.0 pulg. esta formada por dos placas
pulg.
pulg.
triangulares unidas por una soldadura La placa está sometida a un
soldadura.
esfuerzo de tensión y de compresión como se muestra en la figura.
Encuentre elesfuerzo normal y de cortante en la soldadura.

Esfuerzo plano- Ejemplo
plano-

Esfuerzos actuando en la soldadura:

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte
Como puedo encontrar el plano que me produce los esfuerzos
normales máximos o mínimos?
l
á i
í i
?
σX+σY
σ -σ
σX’ =
cos2θ
sen2θ
+ X Y cos2θ + τxysen2θ
2
2
dσX’
dθ

…(1)

σX-σY
2sen2θ
2sen2θ + 2τxycos2θ = 0cos2θ
= −
2

Resolviendo para θ:
Tan2θ
Tan2θp =

τxy
(σX-σY) /2

Dos posibles soluciones θp1 y θp2 y
difieren en 90º
90º

σY

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte

θp2 = θp1+90°
+90°

Y´

τXY

σ2

σ1

X´

θp1
X

σX

=

Al reemplazar θp1 y θp2 en Eq. (1):
σ1,2 =

σX+σY
±
2

( σX2σY )

2

+ τxy2

Si se reemplaza θp1 y θp2 en Eq. (2):τx’y’ = 0

Esfuerzos normal máximo y mínimo
se define como:
esfuerzos principales en el plano y
los planos donde actúan se
denominan planos principales

En planos principales no actúa el esfuerzo cortante

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte
Como puedo encontrar el plano que me produce el esfuerzo
cortante máximo?
t t
á i ?
σX-σY
sen2θ
sen2θ + τxycos2θ
cos2θ
τX Y =−
X’Y’
2
dτX’Y’
XY
dθ

=0

Tan2θs =
Tan2
T 2θ
2θ

…(2)
( )

y resolviendo para θ:
−(σX-σY) /2
τxy

Dos posibles soluciones θs1 y θs2 y
difieren 90 º entre si y 45º entre los
45º
planos principales

Los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden encontrar
orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un
elemento que defina los planos del esfuerzo...