Transformada de fourier

Definición Transformada de Fourier: La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definidos en la recta, otra función que definida de la manera siguiente:

Para que la definición dada arriba donde, algunas condiciones técnicas tienen que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el sentidode la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse aespacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales latransformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. Hé aquíalgunas de ellas:


Propiedades:
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
1. Cambio de escala:


2. Traslación:

3. Traslación en la variable transformada:


4. Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables.


5. Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, latransformada de Fourier F(f) es diferenciable


Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados come el que sigue: Si f y g son funcionesabsolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada, pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.


Aplicaciones: La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ingeniería, especialmente para la caracterizaciónfrecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la transformada de Fourier se utiliza para conocer las características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales ante estas señales.
Si es una función real continua, la expresión es una función compleja de variable real que se denomina la transformada de Fourier de
La interpretación en la teoría de la señal es quew es una frecuencia angular y es el número complejo que daría el módulo (parte real) y la fase (parte imaginaria) del contenido frecuencial de en la frecuencia w.
La propiedad importante es que cuando la transformada de Fourier existe se cumple que y se denomina la transformada inversa de Fourier.
(La posición del factor es arbitraria, también se podría haber puesto en cada una de lasintegrales, la transformada y la transformada inversa).
Es decir, la función inicial se obtiene a partir de su transformada de Fourier con una operación inversa (notad que ahora es la exponencial ejwt, que es la inversa de , la que aparecía en el cálculo de ).
En la realización de la transformada se demostrada en este pequeño resumen:
Consideremos la función de lo contrario
Su transformada de...