Transformada de Fourier

4 La Transformada de Fourier
4.1 Resumen
En la teor´ de sistemas lineales es fundamental la representaci´n de una se˜al en t´rminos de
ıa
o
n
e
sinusoides o exponenciales complejas. Ello es debido a que una exponencial compleja es una
autofunci´n de cualquier sistema lineal e invariante con el tiempo, mientras que la respuesta
o
a una sinusoide es otra sinusoide de la misma frecuencia,con fase y amplitud determinadas
por el sistema. De este modo, la representaci´n en frecuencia de la se˜ales, a trav´s de la
o
n
e
Transformada de Fourier, resulta imprescindible para analizar las se˜ales y los sistemas.
n
Objetivo: Familiarizarse con la Transformada de Fourier: su significado, sus propiedades, y
su manejo. Se introducir´n diversas funciones para calcular y visualizar laTransformada de
a
Fourier en sus diversos aspectos, que ser´n de gran utilidad a lo largo del resto del curso.
a
Duraci´n: Dos sesiones de 2 horas
o

4.2 Introducci´n te´rica
o
o
Al igual que ocurre en el caso continuo, el concepto del dominio de la frecuencia es fundamental
para entender las se˜ales discretas y el comportamiento de los sistemas LIT. El espectro de una
n
se˜al nosense˜a c´mo es esa se˜al en el dominio frecuencial; la respuesta en frecuencia de un
n
n o
n
sistema nos aporta el conocimiento de como se comporta ese sistema para diferentes entradas,
gracias a la perspectiva que aporta el dominio de la frecuencia.

4.2.1 C´lculo de la transformada
a
La transformada de Fourier de una se˜al discreta (DTFT) es una se˜al peri´dica de per´
n
n
o
ıodo
2π. As´la ecuaci´n de s´
ı,
o
ıntesis de x[n] a partir de su transformada se puede ver como el c´lculo
a
jω
de los coeficientes de la serie de Fourier de la se˜al peri´dica X(e ), mientras que la ecuaci´n
n
o
o
de an´lisis refleja el desarrollo en serie de la transformada en funci´n de los coeficientes x[n].
a
o
A la hora de plantear la DTFT computacionalmente cabe hablar de dos problemas: latransformada de se˜ales infinitas, y el hecho de que la transformada es continua, cuando s´lo podemos
n
o
trabajar de forma discreta. Ante el primer problema s´lo cabe decir que se podr´ evaluar la
o
a
transformada de se˜ales infinitas cuando esta se pueda representar anal´
n
ıticamente. En cuanto
a la naturaleza discreta de los c´lculos, aunque la transformada es continua s´lo podremos
ao

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´
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4.2. INTRODUCCION TEORICA PRACTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
obtener muestras de la misma, que pueden constituir una buena aproximaci´n si se toman suo
ficientes (el concepto de suficiencia quedar´ m´s claro m´s adelante en el curso). La funci´n fft
a a
a
o
calcula la transformada de Fourier de una se˜al finita en el n´mero de puntos equiespaciados
n
u
especificado enla llamada a la funci´n.
o
Ejercicio 19 Veamos en este ejercicio como se puede visualizar la transformada de Fourier de una se˜al discreta, que necesariamente debe ser calculada en un conjunto finito de
n
frecuencias. As´, sea la se˜al
ı
n
h[n] = δ[n] + 0.5δ[n − 1] + 0.2δ[n − 2]
La siguiente instrucci´n nos permite calcular 128 valores de su transformada de Fourier:
o
>> H=fft(h,128);El vector H recoge los valores de la funci´n H(ejω ) en las siguientes frecuencias:
o
2πk
, k = 0, · · · , 127
128
Para visualizar la transformada hay que tener en cuenta que el vector H contiene valores
complejos, por lo que tendremos que representar por separado su magnitud y su fase:
ωk =

>> plot(2*pi*(0:127)/128,abs(H));
>> plot(2*pi*(0:127)/128,angle(H));

En el eje de abcisasse incluyen las frecuencias a las que est´ evaluada la transformada,
a
mientras que en el eje de ordenadas se coloca o bien la magnitud o bien la fase. El comando
plot() crea una curva continua, que no es m´s que la interpolaci´n entre los valores discretos
a
o
(128 en este caso) de la transformada que han sido calculados. De esta manera se obtiene una
representaci´n de la transformada...