Transformada De Laplace

CAP´
ITULO 6

INTRODUCCION

ept

6.1.

o. d

eM

atem

atic

as

TRANSFORMADA DE
LAPLACE

∞

£{f (t)}(s) = F (s) =

e−st f (t)dt

An
tio

0

qui
a, D

Definici´n 6.1. Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la
o
o
Transformada de Laplace de f (t) as´
ı:

b

=

l´
ım

b→∞

e−st f (t)dt,

de

0

dad

si el l´
ımite existe.Un
ive
rsi

Teorema 6.1.
Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect
o
a
para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
o
|£{f (t)}(s)| =
=

∞
0
∞
0

e

−st

f (t)dt ≤

e−st |f (t)|dt,
211

∞
0|e−st ||f (t)|dt

sabiendo que e−st > 0

212

CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T

∞

e−st |f (t)|dt +

=
0

T

e−st |f (t)|dt

I1

I2

T

e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos

0
∞

I2 =

e

−st

T

|f (t)| dt ≤
≤ M ect

∞

e

−st

∞

ct

M e dt = M

T

e(−s+c)t dt

T

∞

eM

atem

atic

M
e−(s−c)t , suponiendoque s − c > 0
=
− ( s − c)
T
M
M − ( s− c ) T
=−
(0 − e−(s−c)T ) =
e
s−c
s−c

as

I1 =

o. d

Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.

ept

NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos
que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).

qui
a, D

f (t)

An
tio

M ect , (c > 0)
•

t

Un
ive
rsi

T

dad

de

(0, M ) •

f (t)Figura 6.1

b) Si f (t) es de orden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces
l´ e−st f (t) = 0, s > c
ım

t→∞

6.1. INTRODUCCION

213

En efecto, como |f (t)| ≤ M ect , entonces |e−st f (t)| ≤ M e−(s−c)t y como
l´ t→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´n en l´
ım
o
ımites,
se concluye que
l´ |e−st f (t)| = 0, s > c,ım
t→∞

luego
l´ e−st f (t) = 0, s > c
ım

t→∞

=

e−st (αf (t) + βg (t)) dt

0
∞

e−st f (t) dt + β

e−st g (t) dt

atem

∞

=

α

=

α£{f (t)}(s) + β £{g (t)}(s)

0

k
s

£{k }(s) =

, s > 0,

2). £{tn }(s) =

n!
sn+1

,

s > 0, n = 1, 2, . . .

3). £{eat }(s) =

1
s− a

,

para s > a

k
s2 + k 2

7). £{cosh kt}(s) =
8). £{tn eat}(s) =

s>0

k
s2 − k 2
s
s2 − k 2

n!
(s−a)n+1

An
tio

6). £{ senh kt}(s) =

,
,

s > |k |

,

s > |k |

,

s > a, n = 1, 2, . . .

de

s
s2 + k 2

s>0

dad

5). £{cos kt}(s) =

,

Un
ive
rsi

4). £{ sen kt}(s) =

k constante.

ept

, s > 0,

qui
a, D

1
s

o. d

eM

0

Teorema 6.2.
1). £{1}(s) =

atic

∞

def.

£{αf (t) +βg (t)}(s)

as

Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto
o

Demostraci´n: 1). Si s > 0 se tiene que
o
£{1}(s) =

∞
0

e−st 1 dt =

e−st
−s

∞
0

=

1
s

2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. Para ello, suponemos
o
e
o

214

CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n

que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ | ect | = 0, n = 1, 2,. . .
ım t
t→∞

u=t
⇒ du = dt
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s

hagamos

0

=−

te−st
s

∞

+

0

1
s

∞

e−st dt

0

1 1 −st
e
s −s
1
1
= − 2 (0 − 1) = 2
s
s

£{t}(s) = −(0 − 0) +

∞

as

e−st t dt,

0

atic

∞

atem

n = 1 : £{t}(s) =

u = tn
⇒ du = ntn−1 dt
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s

e−st tn dt hagamos

0

tn e−st
s

∞+

0

n
s

∞

e−st tn−1 dt

0

qui
a, D

=−

o. d

∞

ept

£{tn }(s) =

eM

Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:

An
tio

£{tn−1 }(s)
n
n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s
s
Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) =
o
o

luego:

de

n!
n (n − 1)!
= n+1
n
ss
s

dad

£{tn }(s) =...