Transformada De Laplace

Transformada de Laplace.
En primer lugar se presenta una definición de la transformada de Laplace y un breve análisis de la condición para la existencia de esta, y después se ofrecen ejemplos de laobtención de las transformadas de Laplace de varias funciones comunes.
f(t)= Una función del tiempo t.
s = una variable compleja .
F(s)=Transformada de Laplace de f(t).

La transformada deLaplace de f(t) se obtiene mediante:

F(s)=0∞f(t)e-stdt
Existencia de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integralconverge si f(t) es continua a tramos en cada intervalo finito en el rango t > 0 y si es de un orden exponencial cuando t tiende a infinito.
A continuación, se obtendrán las transformadas deLaplace de algunas funciones que se encuentran con frecuencia.
Función exponencial.
ft=0 para t<0Ae-∝t t≥0
Donde A y ∝ son constantes.
Fs=0∞fte-stdt= 0∞Ae-∝te-stdt
Fs=0∞e-t∝+sdt= As+∝Función escalón.

ft=0 para t<0A para t>0
Fs=0∞fte-stdt= 0∞Ae-stdt=As

Función Rampa.

ft=0 para t<0At para t>0
Fs=0∞fte-stdt= 0∞Ate-stdt
u=t du=dt dv=e-stv=e-st-s
=Ate-st-s∞0-0∞Ae-st-s= As2
Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
LinealidadVersión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación

donde

Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada

Idea
La transformada de Laplace cancela laderivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de latransformada

Tabla de algunas transformadas de Laplace.

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En esta sección vamos aplicar el método de Laplace para resolver algunas ecuaciones diferenciales....