Transformada De Laplace

Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando laintegral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es unaconstante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.
Índice
1 Perspectiva histórica
2 Propiedades
2.1 Linealidad
2.2 Derivación
2.3 Integración
2.4 Dualidad
2.5 Desplazamiento de la frecuencia
2.6 Desplazamiento temporal
2.7 Desplazamiento potencia n-ésima
2.8 Convolución
2.9 Transformada de Laplace de una función con periodo p
2.10Condiciones de convergencia
2.11 Teorema del valor inicial
2.12 Teorema del valor final
3 Tabla de las transformadas de Laplace más comunes
4 Relación con otras transformadas
5 Véase también
6 Referencias
6.1 Bibliografía de consulta
6.2 Enlaces externos
Perspectiva histórica
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de suteoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:


— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad deprobabilidad de la forma:

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales comosoluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método deJoseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadassobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamentecomo variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

— donde D es el operador diferencial, esto es, , entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba....