Transformada Z

EJERCICIOS GUÍA PARA EL TERCER PARCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER DOCENTE: CARLOS HUMBERTO ESPARZA FRANCO

1. De los siguientes pares de funciones, grafique el diagrama de polos y ceros de X(z), Y(z), y H(z), y determine la región de convergencia. Además diga si los sistemas son causales , estables o ninguno de los dos. a.

3. Sea x[n] una secuencia con diagramade polos y ceros como se muestra en la figura 1. Grafique el diagrama de polos y ceros de

1   .n  x[n]    . cos .u[n] 2  3 
n

a. b.

1 h[n]    u[n]  3 b. y[n]   y[n  2]  10 x[n]   .n  x[n]  10. cos .u[n]  2 
2. Considere un sistema LTI que es estable y para el que la transformada Z de la respuesta al impulso es: 1 2

n

1 y1[n]    .x[n] 2  .n  y2 [n]  cos .x[n]  2 
Figura 1.

n

H ( z) 

3  7 z 5 z 5 1  z 1  z 2 2

a. Calcule la ecuación en diferencias del sistema. b. Si la entrada x[n] es un escalón unitario, calcule y[n]. c. Grafique el diagrama de polos y ceros de y[n] y especifique su ROC.

NOTA: Hacer solo dos ejercicios.

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1. Cuando la entrada a un sistema LTI h[n] Causal, es:

2. Dada la transformada z del siguiente sistema causal, determine:

1 n X [n]    .u[n]  2 .u[n  1] 2
La salida es:

n

z 1 (0,5  z 1 ) H ( z)  (1  0,8 z 1 ) 2
a. Determine la ecuación de diferencias que describe el sistema. b. Grafique eldiagrama de polos y ceros y especifique la ROC. c. Si la entrada del sistema es x[n]   halle

1  3 Y [n]  6  .u[n]  6  .u[n] 2 4
a) Determine la transformada Z H(z) del sistema. Grafique el diagrama de polos y ceros y determine la región de convergencia. b) Encuentre la respuesta al impulso del sistema h[n]. c) Escriba la ecuación de diferencias que caracterice el sistema. d) Grafiquelos diagramas de polos y ceros de X(z) y Y(z) e) El sistema h[n] es Estable? El sistema h[n] es Causal?

n

n

1  u[n] , 2

n

y[n]

Sugerencia: Para realizar fracciones parciales de polos repetidos, se deben calcular las fracciones parciales en términos de potencias positivas y calculándolas de la siguiente manera:

x( z )  Fracciones _ parciales . z
El valor de lasconstantes de las fracciones parciales que hace falta se calcula mediante la derivada de la ecuación anterior evaluando en el polo.

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1. La figura 1 muestra la conexión en cascada de dos sistemas LTI causales. Si el diagrama de polos y ceros de la salida es elque se muestra en la figura 2 y la entrada es Determine: .

2. Responda verdadero o falso y justifique la respuesta de los siguientes enunciados. a) (5 puntos) ¿El sistema H1(z) del primer punto es estable? b) (5 puntos) ¿La salida Y(z) del primer punto es causal? c) (5 puntos) ¿La salida Y(z) del primer punto es estable?

a) (5 puntos) Respuesta al impulso H1(z) b) (5 puntos) Dibuje eldiagrama de polos y ceros de H1(z) y especifique su región de convergencia. c) (5 puntos) Determine la ecuación en diferencias de H1(z). d) (5 puntos) Dibuje el diagrama de polos y ceros del sistema total HT(z) y especifique la región de convergencia. (es la conexión en cascada de los dos sistemas) e) (5 puntos) ¿El sistema total es estable? f) (10 puntos) Determine la ecuación en diferencias delsistema total. Figura 1. Conexión de los sistemas en cascada.

Figura 2. Diagrama de polos y ceros de Y(z)

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VALORACION DE LA PRUEBA
Nombre: Programa: OBJETIVOS ESPERADOS Código: Grupo: Resultado: Fecha: Profesor: CARLOS H. ESPARZA

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