Transformada z

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Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación).
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que sepodría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
Contenido[ocultar] * 1 Definición * 1.1 Transformada Z bilateral * 1.2 Transformada Z unilateral * 2Transformada Z inversa * 3 Región de convergencia (ROC) * 3.1 Ejemplo 1 (Sin ROC) * 3.2 Ejemplo 2 (ROC causal) * 3.3 Ejemplo 3 (ROC anticausal) * 3.4 Conclusión de los ejemplos * 4 Propiedades * 5 Tabla con los pares más habituales de la transformada Z * 6 Relación con Laplace * 7 Relación con Fourier * 8 Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes *8.1 Función de transferencia * 8.2 Ceros y polos * 8.3 Salida del sistema * 9 Véase también |
[editar] Definición
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.
[editar] Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que sedefine

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma
z = Aejω
donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia (o ángulo en radianes). Este es mi comentario
[editar] Transformada Z unilateral
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa estadefinición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s =z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.
[editar] Transformada Z inversa
La Transformada Z inversa se define

donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad (que tambiénpuede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con elcírculo unidad.
[editar] Región de convergencia (ROC)
La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, convergecuando x[n]z − n es absolutamente sumable.

Propiedades de la Region de Convergencia:
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].
* La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC....
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