Transformadas de laplace

Tema 8
Transformada de Laplace
8.1

Introducci´n. Transformadas Integrales
o

Puede decirse que los m´todos cl´sicos para la resoluci´n de problemas de valores en la
e
a
o
frontera en la F´
ısica Matem´tica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva
a
t´cnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de
e
Heaviside (electrot´cnicoingl´s de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante
e
e
los ultimos a˜os, y tiene ciertas ventajas sobre el m´todo cl´sico.
´
n
e
a
Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´ originalmente en la resoluci´n de E.D.O.
o
o
con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ de circuitos el´ctricos. M´s tarde, ´l
ıa
e
a
e
mismo extendi´ su m´todo a las E.D.P. que aparecenen electromagnetismo y conducci´n
o
e
o
de calor. Fue tal el poder de su m´todo, que resolvi´ muchos problemas hasta entonces
e
o
irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´s adaptable al
a
C´lculo Num´rico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van
a
e
der Pool, fundamentaron el c´lculo de Heaviside sobre una base m´s s´lida.
a
ao
En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´n de
o
Laplace, se unifica la teor´ desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. Generalıa
mente, el empleo de una transformada integral reducir´ una E.D.P. en n variables
a
independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del problema en estudio. En algunos casos, operacionessucesivas de este tipo pueden reducir el
problema a la resoluci´n de una E.D.O. cuya teor´ ha sido ampliamente desarrollada. De
o
ıa
hecho, operaciones sucesivas pod´ reducir el problema a la resoluci´n de una ecuaci´n
ıan
o
o
algebraica, pero s´lo algunas veces merece la pena hacerlo.
o
A´n cuando la transformada de Laplace es de empleo m´s com´n y es particular
u
a
u
(conveniente paraproblemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´n de
o
calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´n de
o
problemas de valores en la frontera en la F´
ısica Matem´tica. En la resoluci´n de este tipo
a
o
de problemas se han empleado con ´xito diferentes transformaciones integrales y no existe
e
raz´n alguna para que el m´todo nopueda extenderse mediante el uso de otros n´cleos.
o
e
u
1

2

TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este tema no se har´ un estudio te´rico riguroso de la transformada de Laplace,
a
o
sino su utilizaci´n pr´ctica en la resoluci´n de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.
o
a
o

8.1.1

Transformadas Integrales

Definici´n 8.1 Gran n´mero de importantes funciones del An´lisisMatem´tico pueden
o
u
a
a
expresarse como integrales de la forma
g(y) =

∞
−∞

K(x, y) · f (x) · dx

Una funci´n g definida por una ecuaci´n de este tipo (en la que la variable y puede
o
o
ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f .
La funci´n K se denomina N´ cleo de la Transformada.
o
u
Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizanampliamente en las matem´ticas puras y aplicadas y son especialmente utiles en la resoluci´n
a
´
o
de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de
las transformadas m´s convenientemente usadas son:
a
∞
−ixy
• Transformada exponencial de Fourier:
f (x)dx
−∞ e
∞
• Transformada coseno de Fourier:
0 cos(xy)f (x)dx
∞
• Transformada seno de Fourier:
0sen(xy)f (x)dx
∞ −xy
• Transformada de Laplace:
f (x)dx
0 e
∞ y−1
• Transformada de Mellin:
f (x)dx
0 x
Como e−ixy = cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos
particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´n f se anula
o
en el eje real negativo.
Asimismo, la transformada de Laplace est´ relacionada con la transformada de...