Transformadas De Laplace

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martes, 23 de septiembre de 2008 Muchas de las ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones diferenciales que se han resuelto anteriormente, también pueden resolverse por otro método muydiferente. Este método se basa en el concepto de Transformadas de Laplace, que se pueden aplicar para convertir una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales en una ecuación algebraicao un sistema de ecuaciones algebraicas. Su ventaja radica en su gran eficacia y rapidez. La notación para las transformadas de Laplace se comienza con una función “t”, que usualmente se representacomo f(t), obteniendo así:
L {f(t)} = F(s)

La Transformada de Laplace de una función dada se define mediante una integral impropia que contiene un parámetro “s” en su integrando, el cual permanececonstante al momento de la integración. Esto es si f(t), pertenece a un intervalo , y si satisface ciertas condiciones: 1) 2) Que sea seccionalmente continua Que sea de orden exponencial

∫
L

∞0

e − st f(t)dt = lim ∫ e − st f(t)dt
b →∞ 0

b

f(t)

F(s)

L

-1

Ecuaciones Diferenciales

martes, 23 de septiembre de 2008 f(t) 1 t
tn

F(s)
1 s ; s >0
1 s2

f(t)
senat

F(s)
a s + a2
2

cos at

s s + a2
2

n! s n +1
n! (s − a) n +1

e at sen bt
e at cos bt
senh at

b (s − a) 2 + b 2
s −a (s − a) 2 + b 2
a s − a2
2

t n e at
e at

1 s −a1 s+a

e − at

cosh at

s s − a2
2

Transformadas de Derivadas
La transformada de Laplace se usa para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientesconstantes.

bn

d ny d n −1 y dy + bn −1 + L + b1 + b0 y = g(x) n n −1 dx dx dx

además de cumplir con ciertas condiciones iniciales:
y(0) = C0 , y' (0) = C1 , L , y (n −1) (0) = Cn −1

Con ese fines necesario evaluar cantidades tales como y :
L
L

{y' } = s Y(s) − y(0)

{y' ' } = s 2 Y(s) − s y(0) − y' (0)

Por lo tanto la forma general para expresar las transformadas de derivadas...