Trasnformaciones del plano.

UNIDAD N° 7: TRANSFORMACIONES DEL PLANO EN SÍ MISMO.

INTRODUCCIÓN.

Este "hombrecito de baja estatura" contempla la sombra de su figura transformada en una silueta alargada y afinada.
En muchas oportunidades observamos transformaciones de figuras. Así, por ejemplo, en el cine aparecen las imágenes de la película ampliadas en la pantalla; en los espejos de los parques de diversiones vemoslas imágenes deformadas y en los cuadros contemplamos las figuras proyectadas en perspectiva.
Los matemáticos se interesan por estudiar las transformaciones de las figuras y analizar cuáles son las propiedades que se mantienen en dichas transformaciones.

Veamos por ejemplo, algunas de las transformaciones que podemos realizar con un cuadrado:

[pic]

❖ ¿En cuáles de las transformacionesse mantienen las longitudes?
❖ ¿En cuáles se mantienen los ángulos?
❖ ¿En cuáles se mantienen los puntos alineados?
❖ ¿En cuáles se mantiene el ordenamiento de los puntos?

Las longitudes se mantienen solamente en la primera.
Los ángulos se mantienen en la primera y en la segunda.
La alineación se mantiene en las tres primeras.
El ordenamiento de los puntos se mantiene en lascuatro transformaciones.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO.

Nosotros estudiamos especialmente los movimientos de figuras en el plano. En un movimiento la única transformación que se observa es el cambio de posición; es decir que la figura no se deforma. Por eso llamamos a estas transformaciones MOVIMIENTOS RÍGIDOS.
La figura pasa de una posición inicial a una posición final, llamada transformada de laprimera por el movimiento.
Para llegar a la posición final la figura pasa por una sucesión de posiciones intermedias y las trayectorias recorridas pueden ser distintas.
Observa el siguiente ejemplo:

[pic]

Aunque la posición final es la misma, las trayectorias son distintas.
Al Matemático sólo le importa la posición inicial, la posición final y la correspondencia que puede establecerseentre los puntos de una figura y su transformada. Es decir que el matemático considera el movimiento como una correspondencia de puntos.

[pic]

A cada punto de la figura inicial corresponde uno y sólo uno de la segunda, llamado imagen o transformado del primero.
Estas transformaciones son, pues, FUNCIONES PUNTUALES.

a' es la imagen o transformado de a

[pic]
[pic]
[pic] [pic]

Donde[pic] son figuras del plano, o sea, conjuntos de puntos.

Dibuja una figura F en la hoja de tu carpeta; cálcala en un papel transparente y luego desplaza el papel. La figura F' dibujada en él es la transformada de F. Pero solidariamente con los puntos de la figura se han desplazado todos los puntos del papel.
Al punto p interior al triángulo abc corresponde el punto p' interior al triánguloa'b'c'.
Al punto q exterior al triángulo abc corresponde el punto q' exterior al triángulo a'b'c'.
Si consideramos que el trozo de papel representa el plano, resulta que a todo punto de éste corresponde como transformado otro punto del mismo plano.
Decimos que el plano se transforma en sí mismo.
Estudiaremos ahora los distintos tipos de movimientos.

TRASLACIÓN.

El profesor dijo: trasladen 3cm la figura F.

¿Son suficientes estos datos para determinar la figura transformada F'? Estos son algunos de los trabajos que mostraron los alumnos:

[pic]

En cada caso, la posición de la imagen F' es distinta. ¿Cuáles son entonces los elementos que determinan una traslación? Es decir, ¿qué datos necesitamos para obtener una imagen única y bien determinada?
Supongamos que se quieretrasladar la figura F, de modo que el punto p tenga como imagen el punto p'.
¿Cómo determinamos la imagen de los puntos restantes?
Dado el par ordenado de puntos (p ; p') quedan determinados: la distancia, la dirección y el sentido de la traslación (de p hacia p').
En consecuencia, es suficiente conocer el segmento [pic] orientado de p hacia p'.
Definición:

Todo segmento orientado...